2.3. Модели прогноза на основе экспоненциальных средних

В отличие от скользящих средних процедура вычисления экспоненциальных средних включает обработку всех предыдущих уровней ряда с учетом устаревания информации по мере удаления от текущего момента времени. Идея экспоненциального сглаживания состоит в том, что по мере “старения” соответствующим уровням ряда придаются убывающие веса [19, с. 407].

2.3.1. Однопараметрическая модель Брауна

Однопараметрическая модель прогноза Брауна основана на простом экспоненциальном сглаживании. Она предназначена для прогнозирования стационарных временных рядов. Стационарный временной ряд – ряд, уровни которого не содержат тренда и среднее значение ( ) и дисперсия которого остаются постоянными с течением времени [19, с. 407].

Простая экспоненциальная средняя на момент (период) времени вычисляется как взвешенная сумма фактического значения уровня на этот период и сглаженного значения на предыдущий период ( ) по формуле [19, с. 408]

, (11)

где - номер момента (периода) времени;

- экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент времени ( );

, , - сглаживающая константа, характеризующая фактор взвешивания наблюдений.

Процедура экспоненциального сглаживания начинается с определения сглаженного значения на первый момент времени, которое полагается равным первому наблюдению [19, с. 408], то есть

. (12)

Однопараметрическая модель Брауна в качестве прогноза на один период вперед использует экспоненциальную среднюю для текущего момента времени [19, с. 409], то есть

(13)

Подставляя в (13) выражение (11) для , получим следующие формы записи однопараметрической модели прогноза Брауна [19, с. 409]

, (14)

. (15)

В выражении (15) величина в скобках представляет собой ошибку прогноза. Следовательно, однопараметрическая модель Брауна построена по следующему принципу: прогноз на период ( ) равен прогнозу на предыдущий период плюс ошибка прогноза на период , умноженная на сглаживающую константу . Выбор значения константы является ключевым моментом в экспоненциальном сглаживании. Если она близка к единице, то на новый прогноз в значительной степени будет влиять ошибка предыдущего прогноза, а если близка к нулю, то новый прогноз будет близок к предыдущему [19, с. 409].

Малые значения ( ) следует использовать для сглаживания временных рядов, уровни которых существенно изменяются под влиянием случайных возмущений (то есть нерегулярной компоненты). В этом случае происходит максимальное сглаживание (фильтрация) случайных отклонений [19, с. 409].

Для более стабильных временных рядов, не подверженных существенному влиянию случайного фактора, значение следует увеличить. При больших каждый новый прогноз становится чувствительным к текущим изменениям прогнозируемого показателя [19, с. 409].

Автор данного метода английский учёный Р.Г. Браун предложил следующую формулу расчета [4, с. 186; 12, с. 41]

,

где - число уровней ряда, входящих в интервал сглаживания.

Величина , а, следовательно, и определяются в этом случае эмпирически. В качестве удовлетворительного практического компромисса Браун рекомендовал выбирать значение в пределах от 0,1 до 0,3 [4, с. 186; 14, с. 41].

Однако опыт сглаживания и прогнозирования экономических временных рядов показал, что наибольшая точность прогнозирования может быть достигнута при любых допустимых значениях [11, с. 25]. Поэтому на практике рекомендуется выбирать значение этого коэффициента в пределах от 0,2 до 0,8 [13, с. 111].

Простое экспоненциальное сглаживание является несложным и удобным способом прогнозирования. Для своей реализации он не требует хранения всех предыдущих уровней ряда: для прогнозирования на период ( ) необходимо знать только текущее значение и сглаженную величину за предыдущий период [19, с. 409].

К основным достоинствам модели прогнозирования Брауна относятся [11, с. 37]:

1. логичная, ясная и легко понимаемая концепция прогнозирования;

2. возможность быстрого определения эмпирическим путём оптимального значения единственного параметра сглаживания .

Следует отметить, что проведённые рядом исследователей теоретические и эмпирические сравнения однопараметрической модели Брауна с многопараметрическими моделями прогнозирования ни в одном случае не выявили заметного преимущества многопараметрических моделей [11, с. 37].