II. Метод Стокса Обоснование метода

Н а твердый шарик, падающий в жидкости, действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила трения шарика о жидкость (Рис.5) При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей, сила сопротивления обусловлена именно вязкостью жидкости.

О

Рис.6 Поле сил

Рис. 5.

бозначим скорость шарика относительно жидкости через v₀. Молекулы жидкости в слое, прилегающем к шарику, движутся со скоростью v₀ . Распределение жидкостей в соседних слоях, увлекаемых силами внутреннего трения, должно иметь вид, изображенный на рис. 6.

В непосредственной близости от поверхности шара эта скорость равна v₀, а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии l от поверхности шарика. Очевидно, что чем больше радиус шара, тем большая масса жидкости вовлекается в движение, и l должно быть пропорционально r:

. (13)

Тогда , (14)

где v(l)=0.

Полная сила трения, испытываемая движущимся шариком

, (15)

где .

Согласно Стоксу, величина k для шара равна .

Следовательно,

, (16)

т.е. сила трения прямо пропорциональна вязкости жидкости, радиусу шара и скорости его движения. Выражение (16) носит название закона Стокса. Запишем все силы, действующие на шарик:

(17)

В случае падения шарика в жидкости, все три силы будут направлены по вертикали (рис.5). Рассмотрим, как изменяется скорость падения шарика в жидкости со временем. Принимая во внимание, что объем шарика , масса его , получим

(18)

Ускорение уменьшается с увеличением скорости v. Будем считать, что в начальный момент скорость равна нулю, а затем скорость начинает увеличиваться. Согласно уравнению (18) ускорение будет со временем уменьшаться, и рост скорости будет замедляться. Однако скорость будет увеличиваться до максимального значения v₀, которое определяется из уравнения (18) условием и будет равно

Уравнение (18) можно переписать так:

, где

Отсюда

интегрируя, получаем:

.

Если при t=0 скорость равна нулю, то и

(19)

Зависимость v от показана на рисунке 7.

С течением времени величина скорости v асимптотически приближается к значению v₀.

Движение шарика будет сложным: сначала, когда скорость мала, оно будет близким к равноускоренному с ускорением, почти равным ускорению силы тяжести. На графике (рис.7) видно, что скорость растет в начале движения примерно пропорционально времени. Далее ускорение будет постепенно уменьшаться, и движение становится практически равномерным.

Чем меньше (т.е. чем больше и меньше радиус шарика R), тем быстрей наступит почти равномерное движение.

Рис.7. График зависимости скорости движения шарика в жидкости от времени

Расчеты показывают, что падение стального шарика радиусом 0,3 см в глицерине через несколько миллисекунд становится почти равномерным со скоростью порядка 1 см/с.

Если шарик движется равномерно (процесс стационарный и ламинарный), то сила трения и сила Архимеда уравновешиваются силой тяжести, т.е. движение происходит по инерции с постоянной скоростью. Тогда уравнение (17) можно переписать:

. (20)

Последнее выражение позволяет определить коэффициент внутреннего трения в жидкости, в которой движется шарик. Это уравнение справедливо для безграничной среды, если жидкость находится в каком-то сосуде, то сильное влияние будут оказывать боковые стенки. Введение поправки в уравнение Стокса было сделано Ладенбургом. Для жидкости, находящейся в цилиндре с радиусом R, коэффициент вязкости равен:

. (21)