- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
Виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1.1) і визначимо роботу, що виконується прикладеними до нього пружними силами на можливих переміщеннях.
Розглянемо роботу, що виконують нормальні сили, що діють на гранях паралелепіпеда, перпендикулярних осі й відповідних нормальним напругам і Якщо точкам тіла надати які-небудь можливі переміщення, то відстань між розглянутими гранями зміниться на величину Відкидаючи у виразі для напруги на правій грані величину як нескінченно малу в порівнянні зі знаходимо, що дві протилежні рівні сили виконують роботу
Аналогічно визначається робота нормальних сил в напрямках осей і на відповідних їм можливих переміщеннях:
Дотичні сили, паралельні осі на вертикальних гранях (при відкиданні нескінченно малих величин вищого порядку малості) утворять пари сил з моментом Для обчислення роботи, що виконує ця пара на можливих переміщеннях, її момент потрібно помножити на збільшення відповідного кута зсуву
У такий же спосіб визначається робота двох інших дотичних складових на відповідних їм можливих переміщеннях:
На підставі принципу незалежності дії сил можливу роботу всіх сил, прикладених до розглянутого елемента, одержимо як суму можливих робіт, виконуваних кожною силою окремо:
Розділивши цей вираз на об’єм розглянутого паралелепіпеда dxdydz, одержимо збільшення роботи, віднесеної до одиниці об'єму тіла в тій точці, де виділений паралелепіпед:
|
(1.76) |
На підставі закону збереження енергії будемо вважати, що робота пружних сил повністю переходить у потенційну енергію, що накопичується тілом при одержанні пружних деформацій і повертаєму їм назад у вигляді роботи сил при зникненні деформації.
Якщо позначити через W питому потенційну енергію, тобто енергію, що накопичується в одиниці об'єму деформуємого тіла, то на підставі прийнятого вище допущення збільшення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях повністю перейде в потенційну енергію й остання одержить збільшення
Порівнюючи це співвідношення з формулою (1.76), одержуємо збільшення питомої потенційної енергії в такому вигляді:
|
(1.77) |
Збільшення з точністю до величин другого порядку малості можна замінити повним диференціалом:
Підставляючи сюди значення напруг (1.73), одержуємо
Інтегруючи, знайдемо вираз потенційної енергії через деформації:
|
(1.78) |
Виконуючи зворотну операцію з формулами (1.73), одержимо
|
(1.79) |
Отже, питома потенційна енергія, що накопичується в пружному тілі, дорівнює напівсумі добутків складових напруг на відповідні їм складові деформації. Це співвідношення називають формулою Клапейрона.
Питому потенційну енергію можна також виразити тільки через складові напруг. Підставляючи у формулу (1.79) значення деформацій (1.63), знайдемо
|
(1.80) |
Відповідно до співвідношень (1.71), пружні постійні й , що входять у формулу (1.78), позитивні, отже, потенційна енергія також завжди є величиною позитивною.
Потенційну енергію, що накопичується у всьому тілі, підраховують підсумовуванням питомої потенційної енергії по всьому об’ємі тіла V:
|
(1.81) |
Підставляючи сюди вираз питомої потенційної енергії по формулі Клапейрона (1.79), остаточно одержуємо
|
(1.82) |
Розділ 2. Методи розв’язання задач теорії пружності