- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
Розглянемо прямокутну пластинку, що лежить на суцільній пружній основі й, що перебуває під дією поперечного навантаження інтенсивністю (рис. 5.13). Знизу до пластинки прикладені сили реактивного тиску пружної основи (протидія основи), що представляє собою невідому функцію координат .
Рис. 5.13. Пластинка на пружній основі
Розрахунок базується на гіпотезах Кірхгофа. Крім того, передбачається, що існує безперервний контакт між пластинкою й підставою, а сили тертя й зчеплення між пластинкою й поверхнею пружної основи відсутні. При таких допущеннях рівняння (5.16) приймає наступний вид:
|
(а) |
Значення реактивного тиску на пластинку залежить від переміщення точок підстави. У цей час існує цілий ряд гіпотез про зв'язок між функціями й . Найбільш простою є гіпотеза німецького вченого Э. Вінклера про пропорційність реактивного опору прогинам у відповідних точках:
Вона одержала велике поширення завдяки своїй простоті, але має ряд серйозних недоліків і не завжди приводить до правильних результатів.
Підходячи до задачі з позицій теорії пружності, підставу можна розглядати як пружний півпростір, а у випадку плоскої задачі - як пружну напівплощину.
Щоб установити залежність між і , скористаємося розв’язком задачі про дію тиску на поверхню пружного півпростору. У випадку безперервного розподілу тиску по навантаженій площі F вертикальні переміщення точок поверхні пружного півпростору визначаються наступною залежністю:
|
(б) |
де й — координати центра нескінченно малої навантаженої площі й (рис. 5.14); x і y — координати точки A, у якій визначається переміщення; і — пружні характеристики підстави.
Рис. 5.14. До визначення вертикального переміщення
Розв’язок задачі про відшукання функції прогинів зводиться до розв’язання системи двох — інтегрального (а) і диференціального (б) — рівнянь із задоволенням умов на контурі пластинки. Подальший хід розрахунку пов'язаний з обчисленням напруг і деформацій по формулах (5.6) і (5.5).
Прикладом нескінченної смуги на пружній основі може служити стрічковий фундамент. Якщо навантаження уздовж фундаменту постійне, то він перебуває в умовах плоскої деформації. Це означає, що досить розглянути виділену в поперечному напрямку смужку довжиною a і шириною, рівною одиниці (рис. 5.15).
Рис. 5.15. Нескінченна смуга на пружній основі
Для такої смужки диференціальне рівняння прогинів (а) приймає вигляд
|
(в) |
Залежність (б) між прогинами й реактивним тиском перетвориться до наступної:
|
(г) |
Сюди входять пружні сталі , тому що розглядається плоска деформація.
Таким чином, задача про відшукання прогинів нескінченної смуги на пружній основі зведена до розв’язання системи двох інтегро-диференціальних рівнянь (в) і (г).
Розв’язки систем рівнянь (а), (б) і (в), (г) отримані головним чином у працях радянських учених. На підставі цих розв’язків складені докладні таблиці для розрахунку пластинок на пружній основі.