- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
3.5 Трикутна підпірна стінка
Ілюстрацією рішення плоскої задачі за допомогою статечних поліномів для непрямокутної області може служити задача про трикутну підпірну стінку. Розглянемо підпірну стінку із заданим кутом у вершини, що простирається необмежено в напрямку осі (мал. 3.8). Останнє виключає вплив зв'язку стінки з основою.
Рис.3.8. Підпірна стінка
Стінка завантажена тиском води, що змінюється за лінійним законом ( — питома вага води), і власною вагою ( — об'ємна вага матеріалу стінки). Товщина стінки в напрямку, перпендикулярному площині , дорівнює одиниці.
Таким чином, крім поверхневого навантаження на стінку діють складові об'ємної сили
. |
(а) |
Поставленим умовам можна задовольнити, взявши функцію напруг у вигляді полінома третього ступеня (3.13). З формул (3.10) з урахуванням значення складових об'ємної сили (а) одержуємо наступну систему напружень:
|
(б) |
Для визначення вхідних сюди коефіцієнтів сформулюємо граничні умови спочатку на вертикальній грані :
Підставляючи в ці умови напруження (б), одержуємо два рівняння:
звідси
і, отже,
|
(в) |
Переходимо до граничних умов на похилій грані підпірної стінки :
|
(г) |
Напрямні косинуси грані:
Підставляючи напруження (в) і граничні умови (г) у рівняння (3.3), одержуємо ще два рівняння для визначення коефіцієнтів:
Вирішуючи їх, знаходимо:
Підставляючи значення коефіцієнтів і , у формули (в), одержуємо складові напружень, що задовольняють всім граничним умовам і, отже, що є рішенням поставленої задачі:
|
(3.27) |
Дамо оцінку результатам, одержуваним при рішенні аналогічної задачі методами опору матеріалів. З погляду опору матеріалів, на підпірну стінку в перерезі діють сили (рис. 3.9): рівнодіюча гідростатичного тиску на вертикальну грань яка викликає згинання, рівнодіюча власної ваги стінки , прикладена в центрі ваги трикутника і що створює позацентревий стиск.
Осі й — головні центральні осі перерізу . Відповідно до формул опору матеріалів,
|
(д) |
Тут поздовжня сила
поперечна сила
згинальний момент
де ексцентриситет навантаження щодо нейтральної осі перерізу
площа поперечного перерізу
момент інерції прямокутного перерізу щодо нейтральної осі
координата довільної точки щодо нейтральної осі
статичний момент щодо нейтральної осі частини площі перерізу, відсіченої в точці прямої, паралельної цієї осі,
Рис. 3.9. Навантаження з погляду опору матеріалів
Після підстановки перерахованих величин у формули (д) одержуємо
|
(3.28) |
На рис. 3.10,а с показані епюри напружень на горизонтальному рівні , які підкоряються формулам (3.27), отриманим методами теорії пружності. Епюри побудовані для , і . На рис. 3.10,б показані епюри тих же напружень, але отриманих методами опору матеріалів відповідно до формул (3.28).
|
|
а |
б |
Рис.3.10. Епюри, побудовані різними методами
Нормальні напруження , підраховані по формулах опору матеріалів, збігаються з напруженнями , підрахованими по формулах теорії пружності. Напруженнями в опорі матеріалів зневажають через малість у порівнянні з напруженнями , хоча, як видно з епюр, їх значення, одержуване методами теорії пружності, має той же порядок, що й напруження .
Дотичні напруження, підраховані по формулах теорії пружності й опору матеріалів, відрізняються не тільки кількісно, але і якісно. Отже, рішення розглянутої задачі методами опору матеріалів не можна вважати прийнятним.
У верхової грані підпірної стінки з'являються розтягуючі напруження , що небажано. Зі збільшенням кута ці напруження зменшуються, а потім змінюють знак. Визначимо значення , що відповідає нульовим напруженням. Вважаючи у формулі (3.27) для
, , ,
одержуємо
звідки
Для прийнятих раніше і
.
Отже, щоб у похилої грані розглянутої підпірної стінки не виникали напруження, що розтягують, необхідно мати кут