- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
Обмежимося випадками, коли об'ємні сили постійні по всьому обсягу тіла або дорівнюють нулю. Це обмеження дозволяє значно спростити деякі рівняння при рішенні задач в напруженнях, так як всі похідні складових об'ємних сил по координатах обертаються в нуль.
Розглянемо властивості функцій і при постійності об'ємних сил. Продифференціював перше рівняння Ламе (2.9) по друге — по третє — по й почленно склавши, одержимо
|
(2.13) |
Вираз, що знаходиться в перших дужках, являє собою оператор Лапласа над функцією :
Вираз в других дужках можна перетворити, і виявляється, що це той же оператор Лапласа над функцією :
Тоді замість (2.13) одержимо
або
|
(2.14) |
Функція, що підкоряється рівнянню (2.14), називається гармонійною. Отже, при постійності об'ємних сил об'ємна деформація 9 є гармонійна функція.
Підставляючи в рівняння (2.14) вираз об'ємної деформації (1.65) і ділячи на постійний множник, одержуємо
|
(2.15) |
тобто при постійності об'ємних сил перший інваріант напруженого стану теж є функція гармонійна.
При рішенні задачі теорії пружності в напругах за основні невідомі приймають, як уже говорилося, шість складових напружень
Для їх визначення трьох рівнянь рівноваги (2.1) недостатньо й тому потрібно додати ще шість рівнянь нерозривності деформацій (2.4). В останні входять складові деформації, які необхідно попередньо виразити через напруження. Підставляючи в перше рівняння (2.4) вираз деформацій (2.5), одержимо
|
(2.16) |
Для практичного застосування рівняння (2.16) варто перетворити, виключивши з нього дотичне напруження . Для цього продифференціюєм перше рівняння рівноваги (2.1) по х, друге — по у, третє — по z. Складаючи почленно два перших з отриманих рівнянь і віднімаючи третє, знаходимо
|
(2.17) |
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16), одержуємо
Додамо і віднімемо в цьому рівнянні Тоді з урахуванням рівняння (2.15)
Аналогічно можна перетворити інші рівняння нерозривності деформацій (2.4). В результаті одержимо шість рівнянь:
|
(2.18) |
Ці рівняння одержав італійський математик Е. Бельтрамі. Трохи пізніше австралієць Дж. Мичелл вивів аналогічні рівняння для загального випадку, коли об'ємні сили не постійні і, отже, у праву частину рівнянь замість нулів входять члени, що містять похідні від об'ємних сил. Тому рівняння (2.18) називають рівняннями Бельтрамі-Мичелла.
Таким чином, для рішення завдання теорії пружності в напруженнях доводиться інтегрувати дев'ять рівнянь (2.1) і (2.18). Наявність трьох зайвих рівнянь необхідно для одержання однозначного рішення, про що вже говорилося при виводі рівнянь нерозривності деформацій (2.4), наслідком яких є рівняння Бельтрамі-Мичелла.
Отримані після інтегрування шість складових напружень повинні задовольняти умовам на поверхні (2.2). Після цього по формулах закону Гука (2.5) визначають складові деформацій, а з геометричних співвідношень Коші (2.3) - складових переміщень.