4.4 Стискання клина

Задача про стискання клина зосередженою силою, прикладеної до вершини (рис. 4.5), можна розглядати як окремий випадок задачі, розібраної в 4.3, коли .

Рис. 4.5. Стискання клина зосередженою силою

При цьому постійні й відповідно до формул (4.9) і (4.10) приймають наступні значення:

(4.11)

Вносячи ці значення у формули (4.8), одержуємо такі складові напружень:

(4.12)

Епюра радіальних напружень у перерезі показана на тому ж малюнку.

Для дослідження напруженого стану в стиснутому клині зручно перейти до його поперечних і поздовжніх перерезів. Якщо вісь сполучити з віссю симетрії клина, а вісь направити вправо, то в поперечному перерізі будуть діяти складові напружень і , а в поздовжньому — і .

Зв'язок між складовими напружень у декартовій і полярній системах координат для плоскої задачі одержимо з відповідних формул, змінюючи в них позначення напрямків:

(а)

У цих формулах напрямні косинуси й визначають положення осі по відношенню відповідно до осей і :

(б)

а напрямні косинуси й - положення осі :

(в)

Після підстановки напрямних косинусів (б) і (в) у формули (а) одержуємо

(4.13)

Користуючись значеннями напружень (4.13), знаходимо

(г)

Перейдемо в правій частині отриманих рівностей від полярних координат до декартових, зв'язок між якими виражається в такий спосіб:

(4.14)

Підставляючи ці співвідношення у формули (г), одержуємо

(4.15)

Досліджуємо виведені формули на прикладі клина з кутом рад. У перерезі , що перебуває на відстані від вершини,

(д)

Епюри цих напружень зображені на рис. 4.5.

Для порівняння приведемо рішення з позицій опору матеріалів, де приймають, що при стисканні нормальні напруження в поперечному перерізі розподілені рівномірно, а напруження й відсутні:

Зіставляючи ці напруження з напруженнями (д), містимо, що нормальне напруження , одержувана методами опору матеріалів, відрізняється від максимального нормального напруження , одержуваного методами теорії пружності, на 17%. У випадку, коли кут рад, ця різниця досягає 36%. Звідси видно, що методика опору матеріалів непридатна для розрахунку стиснутих стержнів змінного перерізу з більшим кутом розтвору .

4.5 Згинання клина

Задача про згинання клина силою, прикладеною до його вершини (рис. 4.6), можна також розглядати як окремий випадок задачі, розібраної в 4.3, при .

Рис. 4.6. Вигин клина

Дотримуючись тої ж послідовності, що й у попередньому параграфі, знаходимо значення постійних:

,

і складових напружень:

(4.16)

Епюра радіальних напружень у перерезі показана на зазначеному рисунку.

Переходячи за допомогою формул (4.14) і (4.15) до декартової системи координат, знаходимо

(4.17)

Досліджуємо розподіл напружень у клині з кутом рад. У цьому випадку в поперечному перерізі, що відстоїть від вершини на відстані , виникнуть наступні напруження:

Їх епюри також показані на рис. 4.6.

Для порівняння приведемо рішення, одержуване методами опору матеріалів:

(4.18)

Епюри цих напружень при тім же значенні кута представлені на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Епюри, отримані методами опору матеріалів

Порівнюючи відповідні епюри на рис. 4.6 і 4.7, зауважуємо, що вони значно відрізняються друг від друга. Епюра нормальних напружень , побудована по формулах (4.17), криволінійна, а епюра напружень , побудована по формулах (4.18), прямолінійна, причому максимальні значення напружень відрізняються на 17%. Зі збільшенням кута ця різниця зростає.

Епюри дотичних напружень і взагалі не мають нічого загального. Нормальні напруження по всьому перерізу дорівнюють нулю, а максимальне значення нормального напруження для досліджуваного кута становить близько 22% від максимального значення нормального напруження .

Зі зменшенням кута розбіжність між рішеннями теорії пружності й опори матеріалів також зменшується. Отже, методика опору матеріалів придатна лише для малих кутів.