- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
На рис. 4.8 зображено пружне середовище, обмежене площиною і яка простягається необмежено донизу. В точці прикладена сила , перпендикулярна площини .
Рис. 4.8. Пружна напівплощина
У випадках плоскої задачі розглянуте середовище називається пружною напівплощиною. Таких випадків може представитися два. Якщо довжина середовища в напрямку, перпендикулярному площині креслення, досить мала, то виникає узагальнений плоский напружений стан. Якщо ж довжина середовища в зазначеному напрямку велика, то маємо справу із плоскою деформацією й у цьому випадку сила являє собою навантаження, рівномірно розподілене уздовж прямій, перпендикулярній площині креслення.
Напівплощину можна розглядати як різновид клина при куті розтвору . Думаючи також , тому що сила спрямована уздовж осі , з формул (4.11) одержуємо постійні , .
Підставляючи ці значення у формули (4.12), знаходимо напруження в точках пружної напівплощини:
Французьким ученим Ж. Буссінеском запропоноване наступне графічне подання напруженого стану усередині напівплощини: якщо провести окружність, що касається границі напівплощини в точці додатка навантаження , то ця окружність буде являти собою геометричне місце точок з однаковими радіальними напруженнями (коло Буссінеска). Доведемо це положення.
На рис. 4.8 окружність діаметром , рівним , касається границі напівплощини в точці .Радіус-вектор, проведений у довільну точку , дорівнює . Із тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику треба, що , звідки . Використовуючи це співвідношення в першій формулі (4.19), одержуємо
|
(4.20) |
Таким чином, у всіх точках зазначеної окружності радіальні напруження однакові.
Формули (4.19) можна застосовувати для визначення напружень на основі фундаменту. Хоча ґрунт основи найчастіше не має пружні властивості, при невеликих зовнішніх тисках практично для всіх ґрунтів можна приймати лінійну залежність між деформаціями й напруженнями і використовувати рівняння теорії пружності.
В інженерній практиці при розрахунку фундаментів необхідно знати розподіл напружень у товщі ґрунту по горизонтальному й вертикальному перерізах, тому в розглянутої задачі перейдемо від напружень у полярній системі координат до напружень у декартовій системі. Підставляючи значення напружень (4.19) у формули (4.13) одержуємо:
;
;
,
або, використовуючи формули переходу (4.14) від однієї системи координат до іншої,
|
(4.21) |
Епюри нормальних і дотичних напружень для двох горизонтальних перерезів показані на рис. 4.9, а, б. На рис. 4.9, в зображені епюри нормальних напружень для двох вертикальних перерізів. Нормальні напруги , що діють у горизонтальних перерізах, досягають максимуму під силою й загасають при видаленні від лінії її дії як завширшки, так і в глибину.
Дотичні напруження під силою дорівнюють нулю, на деякій відстані від лінії її дії досягають максимуму, а потім поступово загасають. По мірі поглиблення максимум зміщується усе далі від осі . Так само як , поводяться і нормальні напруження , що досягають максимального значення на тій же відстані, але по глибині.
а |
|
б |
|
в |
|
Рис. 4.9. Епюри напруг
Рішення для зосередженої сили можна поширити на випадок будь-якого суцільного розподіленого навантаження (рис. 4.10).
Рис. 4.10. Довільне розподілене навантаження
Якщо інтенсивність навантаження в даній точці дорівнює , то рівнодіюча навантаження на нескінченно малій довжині становить . Розмір у полярній системі координат має вигляд
.
Тут знак мінус з'являється тому, що при зростанні кут убуває. Тоді елементарне навантаження на ділянці можна представити як
.
Вносячи це значення у формули (4.19), одержуємо напруження в точці від нескінченно малої сили , прикладеної в довільній точці на границі напівплощини:
; .
За допомогою формул (4.13) переходимо до напружень, що виникають від нескінченно малої сили на горизонтальних і вертикальних площадках, що проходять через ту ж точку :
;
;
.
Якщо навантаження розподілене уздовж осі від точки до точки і кут змінюється в цих границях від , до , то, підсумовуючи напруження від кожної елементарної сили, одержуємо напруження в точці від всього розподіленого навантаження:
|
(4.22) |
Щоб проінтегрувати вираз (4.22), навантаження необхідно представити у вигляді функції кута . У випадку рівномірно розподіленого навантаження інтегрування значно полегшується, тому що . В результаті одержуємо
|
(4.23) |