4.2 Простий радіальний напружений стан

Для рішення плоскої задачі в напруженнях у полярній системі координат маємо два рівняння рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3). Однак часто доводиться мати справа з напруженим станом, при якому у всіх точках тіла діють тільки радіальні нормальні напруги . Інші складові напруг, як і складових об'ємних сил, дорівнюють нулю. Такий напружений стан називається простим радіальним.

У цьому випадку одне рівняння рівноваги обертається в тотожність, а інше рівняння і рівняння нерозривності деформацій значно спрощуються:

(а)

Систему рівнянь (а) можна проінтегрувати у загальному виді методом Фур'є. Для цього представимо напруження , що є функцією двох змінних і , у вигляді добутку двох функцій:

(б)

перша з яких є функцією тільки однієї змінної , а друга — тільки змінної .

Підставляючи функцію (б) у рівняння (а), одержуємо два звичайних диференціальних рівняння із двома невідомими функціями й :

(в)

Перше рівняння (в) після розподілу на дає

звідки після поділу змінних

Інтегруючи, одержуємо

або

Потенцюючи, знаходимо функцію

(г)

Для відшукання функції підставимо знайдену функцію в друге рівняння (в):

Після розподілу на дріб одержуємо диференціальне рівняння

Його рішення представляється у вигляді

(д)

Підставляючи рішення (г) і (д) у вираз (б), знаходимо

(е)

Для зручності подальших викладень уведемо нові довільні постійні і :

Тоді функція (е) приймає вид

(4.6)

або, якщо застосувати тригонометричну формулу перетворення косинуса різниці двох кутів,

Отже, простий радіальний напружений стан представляється наступними напруженнями:

(4.7)

Постійні і визначаються із граничних умов.

 

4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою

Рішення (4.7) можна застосувати до задачі про клин, у вершині якого прикладена сила довільного напрямку (рис. 4.3). Кут розтвору клина дорівнює . Початковий радіус-вектор збігається з бісектрисою кута. Лінія дії сили становить із початковим радіус-вектором кут .

Рис. 4.3. До задачі про клин

Покажемо, що в цьому випадку клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. Для цього скористаємося виразом напруження у формі (4.6):

(4.8)

і визначимо постійні й , при яких задовольняються граничні умови поставленої задачі.

Виключимо з розгляду закріплення нижньої крайки клина, що впливає на розподіл напружень тільки поблизу від місця закріплення.

На бічних поверхнях клина, тобто при , . З формул (4.8) виходить, що ця умова тотожно виконується у всіх точках бічної поверхні, крім полюса . У полюсі при зазначені формули неприйнятні. Для включення в граничні умови сили замінимо її на підставі принципу Сен-Венана еквівалентним навантаженням, розподіленим по дузі малого радіуса (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Заміна зосередженої сили еквівалентним навантаженням

Розглянемо рівновагу елемента клина, що відсікається дугою довільного радіуса . Спроектуємо всі сили, прикладені до цього елемента, на вертикальну і горизонтальну осі. Приймаючи товщину клина в напрямку, перпендикулярному площині малюнка, рівній одиниці, одержимо:

Після підстановки напруження з формул (4.8) при ці умови рівноваги перетворяться в наступні:

(а)

Інтегруючи, одержуємо систему двох рівнянь для визначення постійних і :

звідки

(б)

Розділивши почленно друге рівняння (б) на перше, одержуємо умову для визначення постійної :

(4.9)

Зведемо обидва рівняння (б) у квадрат і складемо:

Добуваючи корінь, знаходимо

(4.10)

Таким чином, вдалося задовольнити граничним умовам і, отже, розглянутий клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. При цьому постійні й визначаються формулами (4.9) і (4.10).