- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
5.1 Основні поняття й гіпотези
Пластинкою називається призматичне або циліндричне тіло, висота якого мала в порівнянні з розмірами в плані (рис. 5.1). Висота називається товщиною пластинки й позначається .
Площина, що ділить пластинку навпіл по товщині, називається серединної. При згинанні пластинки серединна площина перетворюється у вигнуту поверхню. Лінія перетинання бічної поверхні пластинки із серединною площиною називається контуром пластинки.
Для дослідження деформацій пластинки будемо прямокутну систему координат розташовувати так, щоб координатна площина збігалася із серединною площиною, а вісь направляти донизу. При такому виборі системи координат складова переміщення в напрямку осі буде являти собою прогин пластинки. Положення початку координат у серединній площині будемо вибирати в кожному розглянутому випадку залежно від обрису контуру пластинки й характеру закріплення її країв.
Рис. 5.1. Пластинка
Пластинки знаходять широке застосування в будівництві у вигляді настилів і панелей, залізобетонних плит для покриття виробничих будинків, плит фундаментів масивних будинків і т.д. Розрахунковою схемою плит, застосовуваних у будівельних конструкціях, є тонка пластинка. Тонкими називаються пластинки, що мають відношення товщини до найменшого характерного розміру в плані приблизно в межах і величині очікуваних прогинів не більше . Академік Б. Г. Гальоркін показав, що теорію тонких пластин можна використовувати навіть при . Пластинки, у яких , розраховують по теорії товстих плит, а пластинки, що мають прогини більше , — по теорії гнучких пластинок, або мембран.
Тонкі пластинки звичайно розраховують по наближеній теорії — технічної теорії згинання пластинок, що заснована на наступних гіпотезах, запропонованих німецьким фізиком Г. Кирхгофом.
1. Гіпотеза прямих нормалей: будь-який прямолінійний елемент, нормальний до серединної площини, залишається прямолінійним і нормальним до серединної поверхні після деформування пластинки, і довжина його не змінюється. Ця гіпотеза аналогічна гіпотезі плоских перерезів у теорії згинання балок.
Будь-який прямолінійний елемент, нормальний до серединної площини, спрямований уздовж осі , і, отже, перша частина гіпотези припускає, що прямі кути між цим елементом і осями , залишаються прямими, тобто зсуви в зазначених площинах відсутні
|
(5.1) |
Гіпотеза про збереження довжини прямолінійного елемента припускає, що лінійна деформація в напрямку осі (по товщині пластинки) відсутня:
. |
(5.2) |
2. Гіпотеза про недеформованність серединної площини: у серединній площині відсутні деформації розтягання, стискання і зсуву, тобто вона є нейтральною і її переміщення
. |
(5.3) |
3. Гіпотеза про відсутність тиску між шарами пластинки, паралельними серединної площини. Гіпотеза дозволяє зневажати напруженням через малість у порівнянні з напруженнями і . Аналогічна гіпотеза приймалася в теорії згинання балок.