- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
Для ілюстрації методу Бубнова-Гальоркіна розглянемо вигин затисненої по контурі прямокутної пластинки, до якої прикладене рівномірно розподілене навантаження. Напрямок координатних осей показане на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Вигин затисненої по контурі пластинки
З характеру закріплення пластинки випливають наступні граничні умови. На гранях пластинки OB і AC при й
|
(а) |
На гранях OA і BC при й
|
(б) |
Щоб задовольнити цим умовам, наближений вираз функції прогинів можна прийняти у вигляді ряду
|
(в) |
де функція
кожного його члена задовольняє всім граничним умовам.
Так, на грані OB
і, отже, .
На грані AC
і теж . Точно так само виконуються умови (б) для прогинів на гранях OA і BC.
Для перевірки граничних умов відносно кутів повороту на контурі пластинки обчислюємо похідні від функції прогинів (в) по x і y:
На грані OB
і, отже, похідна . Точно так само на грані AC
і похідна . Аналогічно, на гранях OA і BC звертається в нуль похідна . Таким чином, функція прогинів (в) задовольняє всім граничним умовам (а) і (б).
Для відшукання невизначених параметрів потрібно скласти систему рівнянь Бубнова-Гальоркіна (6.7). У першому наближенні обмежимося одним членом ряду (в):
|
(г) |
Тоді функція для цього члена ряду буде
|
(д) |
Підставляючи співвідношення (г) і (д) у рівняння (6.7), одержуємо
Після перетворення приходимо до суми добутків інтегралів:
Інтегруючи, одержуємо
або після спрощення
Звідси коефіцієнт
Вносячи отримані значення у формулу (г), знаходимо функцію прогинів у першому наближенні:
Максимальний прогин виникає в центрі пластинки (при , і ). Для квадратної пластинки при й коефіцієнті Пуассона одержуємо наступне значення максимального прогину:
Точне значення максимального прогину квадратної пластинки, затисненої по контурі й до якого прикладене рівномірно розподілене навантаження
Таким чином, максимальний прогин, отриманий у першому наближенні, відрізняється від точного значення менш ніж на 1,5%.
При обчисленні згинальних моментів і поперечних сил ряди сходяться значно гірше.