- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
Схема балки показана на рис. 3.6. Рішення задачі можна одержати, якщо функцію напружень прийняти у вигляді суми поліномів п'ятого, третього й другого ступенів. При цьому варто врахувати, що вісь є віссю симетрії, і тому члени, що містять у непарному ступені, варто відкинути.
Рис. 3.6. Балка на двох опорах
Таким чином, складаючи поліноми (3.16) (3.13) і (3.12), з урахуванням симетрії одержуємо наступну функцію напружень:
Підставляючи її у формули (3.10) і зневажаючи об'ємними силами, одержуємо систему напруг
|
(а) |
Для визначення постійних маємо наступні граничні умови:
на верхній грані при
на нижній грані при
Підставляючи в ці умови напруги (а), одержуємо чотири рівняння:
Вони розпадаються на незалежні рівняння
Вирішуючи цю систему, знаходимо:
Переходимо до умов на торцях: при
|
(б) |
Так як закон розподілу реакції по торцю не заданий, то після неї умова вимагає; щоб дотичні напруження на торці приводилися до опорної реакції. Після підстановки в цю умову дотичних напружень із формул (а) одержуємо тотожність. Нормальні напруження при становлять
|
(в) |
і, отже, у нуль не обертаються, тобто точно задовольнити граничну умову для нормальних напружень не вдається.
Розглянемо наближені граничні умови. Зажадаємо, щоб на торцях зверталися в нуль рівнодіюча поздовжніх зусиль і їх момент:
|
(г) |
Підставляючи в ці умови вираз нормальної напруги (в), одержуємо
звідки після інтегрування
Таким чином, наближені граничні умови на торцях (г) виконані. Подібна заміна точної граничної умови наближеною називається зм'якшенням граничних умов. Умови (г) показують, що діючі на торцях нормальні напруження зводяться до взаємно врівноваженої системи сил, що на підставі принципу Сен-Венана впливає на розподіл напружень лише поблизу торців балки.
Підставляючи знайдені постійні у формули (а), одержуємо остаточні значення напружень:
|
(3.25) |
Епюри цих напружень у перерізах балки довжиною , де вони досягають найбільших абсолютних значень, показані на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Епюри максимальних напружень
Для порівняння визначимо напруження по формулах опору матеріалів:
|
(3.26) |
Порівняємо максимальні значення нормальних напружень , отримані по формулах (3.25) і (3.26). У першому випадку при й
у другому
Різниця між ними залежить від відношення висоти балки до її довжини. Для балки довжиною ця різниця становить усього . Зі збільшенням довжини балки ця різниця зменшується. Таким чином, гіпотеза плоских перерізів, на основі якої отримана формула опору матеріалів для напружень , у розглянутої задачі цілком виправдується. Епюра цих напружень показана на рис. 3.7 штриховою лінією.
При рішенні задачі в опорі матеріалів нормальними напруженнями зневажають. У рішенні (3.25), отриманому методом теорії пружності, при маємо
Порівнюючи це значення із для балки довжиною , одержуємо
Отже, прийнята в опорі матеріалів гіпотеза про те, що поздовжні волокна балки один на одного не давлять, для балок довжиною є цілком прийнятною.
Дотичні напруження , одержувані в опорі матеріалів, повністю збігаються з напругами обумовленими методами теорії пружності.