6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна

Метод Бубнова—Гальоркіна заснований на властивості ортогональності функцій. У курсі математичного аналізу дається наступне визначення ортогональних функцій: якщо є сімейство безперервних функцій

(а)

і інтеграл добутку будь-яких двох різних функцій цього сімейства в проміжку дорівнює нулю:

(6.6)

ці функції (а) утворять у цьому проміжку ортогональну систему. Наприклад, сімейство тригонометричних функцій

(б)

є ортогональною системою в проміжку

Дійсно,

(в)

причому, ці інтеграли вичерпують усілякі варіанти комбінування двох різних функцій сімейства (б).

На підставі леми з курсу математичного аналізу слідує: якщо одна з функцій тотожно дорівнює нулю, наприклад , то вона ортогональна до всіх без винятку функцій, тому що в цьому випадку виконується умова (6.6). Як приклад можна привести функцію

(г)

яка представляє собою ліву частину диференціального рівняння вигнутої осі балки. Ця функція тотожно рівна нулю при будь-яких значеннях x, і, відповідно,

Тут інтеграл береться по всій довжині балки L, і тому функція (г) ортогональна в проміжку до будь-якої функції.

Якщо функцію прогинів замінити її наближеним виразом у формі ряду

(д)

то функція (г) уже не буде тотожно дорівнює нулю, а виходить, і не буде ортогональна в зазначеному проміжку до будь-якої функції. Можна, однак, зажадати, щоб вона була ортогональна хоча б до обмеженого класу функцій, наприклад функцій , що становлять ряд (д), тобто щоб

(е)

У результаті одержимо n лінійних рівнянь для визначення n постійних коефіцієнтів , що входять у ряд (д).

На використанні системи рівнянь (е) для визначення значень параметрів і заснований метод Бубнова-Гальоркіна. Всі міркування, наведені для функції одного аргументу, можна застосувати й до функцій двох аргументів і більше. Для розв’язання задач про вигин пластинок рівняння Бубнова-Гальоркіна (е) можна представити у вигляді

(6.7)

де замість лінійного проміжку розглядається плоска область s, обмежена контуром пластинки, а функція виражається наступним подвійним рядом по області s:

(ж)

Таким чином, наближена функція в рівняннях (6.7), що представляє собою ліву частину диференціального рівняння вигнутої серединної поверхні пластинки (5.16), ортогональна в області s до всіх функцій ряду (ж), що входить у цю наближену функцію.

Методу Бубнова-Гальоркіна можна дати й інше, тлумачення. Функція являє собою проекцію на вісь z всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на нескінченно малий елемент пластинки. Функція прогинів є переміщення в напрямку тої ж осі. Виходить, функції теж є переміщеннями в напрямку осі z і їх можна вважати можливими переміщеннями. Отже, рівняння Бубнова-Гальоркіна (6.7) приблизно виражають рівність нулю роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил у пластинці на можливих переміщеннях .

Таким чином, метод Бубнова-Гальоркіна, як і метод Рітца-Тимошенко, виходить із принципу можливих переміщень, обидва методи рівноправні. В обох випадках апроксимуючу функцію необхідно вибирати так, щоб вона задовольняла геометричним граничним умовам. Виконання статичних умов не обов'язково.