- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині (рис.3.1).
Рис.3.1. Пластинка в умовах плоского напруженого стану
У цьому випадку напруги на основах пластинки дорівнюють нулю. Так як пластинка тонка, то ці напруження дорівнюють нулю і по всьому обсягу пластинки, а інші компоненти тензора напружень ( ) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.
Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:
|
(3.1) |
Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях і т.п. (рис.3.2).
Рис.3.2. Плоска деформація
Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:
|
(3.2) |
Незважаючи на відсутність деформації , нормальні напруги будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука
|
(3.3) |
Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях пружних постійних. Ця обставина дозволяє об'єднати обидві задачі в одну - плоска задача теорії пружності.
Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.
Диференціальні рівняння рівноваги:
|
(3.4) |
де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.
Умови на поверхні:
|
(3.5) |
де l, m — напрямні косинуси.
Геометричні співвідношення Коші:
|
(3.6) |
Рівняння нерозривності деформацій:
|
(3.7) |
Формули закону Гука:
|
(3.8) |
де
|
(3.9) |
Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) переходять в.
Таким чином, у плоскої задачі теорії пружності невідомими будуть вісім функцій (напружень , деформації , переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону Гука).
Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню, розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною. Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.
Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.
Найбільше часто в практичних розрахунках необхідно визначати напруження . У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.
Для реалізації такого підходу вводиться так звана функція напружень Эрі — , що пов'язана з напруженнями співвідношеннями
|
(3.10) |
У результаті виходить рівняння
|
(3.11) |
Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,
|
(3.12) |
дозволяє визначити функцію напружень , а потім по формулах (3.10) — напруження.