- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
Рішення основного рівняння згинання (5.15) для прямокутної пластинки в замкнутій формі одержати не вдається. Його доводиться шукати у вигляді нескінченного ряду. Розглянемо шарнірно обперту по контуру прямокутну пластинку (рис. 5.9), що перебуває під дією поперечного навантаження інтенсивністю , що змінюється за будь-яким законом. Початок координат розташуємо в куті пластинки. Розмір пластинки в напрямку осі дорівнює , а в напрямку осі — .
Рис. 5.9. Шарнірно обперта пластинка
Рішення рівняння (5.15) будемо шукати у вигляді подвійного тригонометричного ряду по синусах:
, (а)
де — постійні числа, коефіцієнти ряду; і — цілі позитивні числа: 1, 2, 3, …
Ряд (а) можна представити в розгорнутому виді:
Для шарнірно обпертої по контуру пластинки маємо наступні граничні умови:
при й ; (а)
при й . (б)
Переконаємося, що ряд (а) задовольняє цим умовам. Дійсно, на грані пластинки й, отже, прогин . На грані , а значить, і прогин . Точно так само обертаються в нуль прогини на гранях і .
Отже, граничні умови (б) і (в) відносно прогинів виконуються.
Другі похідні функції прогинів
містять синуси тих же аргументів, що і сама функція. Тому похідні звертаються в нуль на всіх гранях пластинки: при , , і . Отже, граничні умови (б) і (в) для згинальних моментів також виконуються.
Визначимо коефіцієнти ряду (а). Для цього підрахуємо четверті похідні функції прогинів
і підставимо їх у рівняння (8.15). Після спрощення одержимо
|
(г) |
Щоб визначити коефіцієнти ряду, що входить у ліву частину рівняння (г), необхідно і праву частину цього рівняння розкласти в тригонометричний ряд. Представимо навантаження у вигляді подвійного тригонометричного ряду Фур'є по синусах у прямокутній області ; :
|
(д) |
Коефіцієнти цього ряду визначаються по формулі, відомої з курсу математичного аналізу:
|
(е) |
Підставляючи ряд (д) у рівняння (г), одержуємо
.
Два ряди рівні між собою, якщо рівні їх відповідні члени. Таким чином,
Підставляя сюди замість вираз (е), знаходимо коефіцієнти ряда (а) у такій формі:
|
(ж) |
Отже, функція (а) є рішенням поставленої задачі, тому що вона задовольняє умовам на контурі пластинки і при виборі коефіцієнтів ряду у формі (ж) задовольняє основному рівнянню згинання пластинки. Подальша конкретизація задачі залежить від виду функції .
Розглянемо деякі окремі випадки.
1. Навантаження рівномірно розподілене по всій поверхні пластинки (рис. 5.10). У цьому випадку .
Рис. 5.10. Вплив розподіленого навантаження
Тоді, відповідно до формули (ж),
|
(з) |
Після інтегрування одержуємо
Підставляючи значення цих коефіцієнтів у ряд (а), знаходимо вираз функції прогинів:
|
(5.20) |
Максимальний прогин, що виникає в центрі пластинки (при й ), становить
Підставляючи сюди значення циліндричної жорсткості (5.7) і виносячи за дужки , одержуємо
Для практичного використання одержуваних результатів формують таблиці. У цих цілях останню формулу зручно представити в такому вигляді:
де коефіцієнт
залежить тільки від відношення сторін пластинки . Ряд, що входить сюди швидко сходиться. Так, зберігаючи перші чотири члени ряду й приймаючи , для квадратної пластинки знаходимо
що відповідає точному значенню, що приводиться в довідковій літературі.
Підставляючи функцію прогинів (5.20) у формули (5.8), одержимо згинальні моменти:
Максимальні згинальні моменти виникають у центрі пластинки (при й ):
Для складання таблиць їх представляють у вигляді
де коефіцієнти і є функціями відношення сторін пластинки . Ряди в цих функціях сходяться повільніше, ніж у функції . Так, якщо підрахувати коефіцієнт для квадратної пластинки, зберігаючи перші чотири члени ряду, одержимо
у той час як точне значення, що приводиться в таблицях, . Отже, при збереженні чотирьох членів ряду значення коефіцієнта відрізняється від точного його значення на 2,1 %.
Значення поперечних сил знайдемо, підставивши функцію прогинів (5.20) у формули (5.9):
Максимальні значення поперечні сили одержують посередині сторін контуру пластинки. Так, виникає в точках з координатами й , a — у точках з координатами й :
Для табулювання ці функції представляють у такому вигляді:
де коефіцієнти і є функціями відношення сторін пластинки . Ряди в цих функціях сходяться ще повільніше, ніж у функціях , , і . Так, зберігаючи, як і в попередніх випадках, те ж число членів ряду, для квадратної пластинки одержуємо
що відрізняється від точного значення, рівного 0,338, на 16,3%.
2. Сила P зосереджена в точці K з координатами й (рис. 5.11).
Рис. 5.11. Вплив зосередженої сили
Представимо цю силу у вигляді навантаження, розподіленого на нескінченно малій площі навколо точки K:
При обчисленні подвійного інтеграла у формулі (ж) варто врахувати, що він звертається в нуль у всіх точках, крім K, де він дорівнює
Підставляючи це значення в зазначену формулу, одержуємо вираз коефіцієнтів ряду (а):
а підставляючи цей вираз в ряд (а), знаходимо функцію прогинів пластинки:
|
(5.21) |
Отриманий ряд сходиться повільніше, ніж ряд (5.20).
Знаючи функцію прогинів, звичайним шляхом можна знайти згинальні моменти, поперечні сили й крутні моменти. Ряди, що входять у них, сходяться ще гірше, тому викладена методика може бути рекомендована тільки для знаходження прогинів. Для обчислення ж згинальних моментів, а тим більше, поперечних сил, вона нераціональна.