- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
Прикладом осесимметричної задачі є задача Ламе про товстостінну круглу трубу, що перебуває під дією внутрішніх і зовнішнього рівномірних тисків (рис. 4.11).
Рис. 4.11. Задача Ламе
Внутрішній радіус труби дорівнює , зовнішній — .
Для рішення скористаємося формулами напружень (4.35), отриманими із загального рішення осесимметричної задачі в переміщеннях. Тому що розглянута задача ставиться до випадку плоскої деформації, то зазначені формули повинні включати пружні постійні й . Відповідно до позначень (3.6), маємо
Для визначення постійних і маємо наступні умови на поверхні:
при ;
при ;
Підставляючи їх у формули (а), одержуємо:
Вирішуючи спільно ці рівняння, знаходимо:
Після підстановки знайдених постійних у рівняння (а) напруги:
|
(4.36) |
Цікаво відзначити, що сума нормальних напружень і у всіх точках труби однакова. Дійсно, складаючи почленно формули (4.36), знаходимо
. |
(б) |
У випадку плоскої деформації в поперечних перерізах труби виникають також нормальні напруження . За аналогією з формулою (3.1),
Підставляючи сюди суму напружень (б), одержуємо
.
Таким чином, осьові нормальні напруження постійні по довжині труби. Виключення становлять перерізи, що перебувають поблизу кінців труби, де, мабуть, труба не буде випробовувати плоскої деформації.
В окремому випадку, коли на трубу діє тільки внутрішній тиск, тобто , формули напружень (4.36) приймають наступний вид:
|
(4.37) |
Епюри цих напружень зображені на рис. 4.12, а. Найбільші стискаючі радіальні і розтягуючі тангенціальні нормальні напруження, виникають у точках у внутрішньої поверхні труби тобто при :
;
.
У точках у зовнішньої поверхні труби (при )
|
|
а |
б |
Рис. 4.12. Епюри при тільки внутрішнім або тільки зовнішньому тиску
Розглянемо трубу зовнішнім радіусом, набагато більшим внутрішнього. З формул (4.37) після розподілу чисельника і знаменника на одержуємо:
Переходячи до границі при , знаходимо
|
(в) |
Це значить, що всі точки труби випробовують однакові за значенням радіальні й тангенціальні напруження, що відрізняються лише знаком. Отже, труба з нескінченно великим зовнішнім радіусом перебуває в умовах чистого зсуву. У точках внутрішньої поверхні (при ) ці напруження дорівнюють тиску , а в точках, що відповідають , вони становлять . Якщо в практичних розрахунках достатня точність в 6%, то зовнішній радіус можна вважати нескінченно більшим. У цьому випадку рішення не пов'язане з формою зовнішнього контуру і формули характеризують розподіл напружень для труби з будь-якою формою зовнішнього контуру за умови, що всі його точки відстоять від центра отвору на відстані, більшому ,
В іншому окремому випадку, коли на трубу діє тільки зовнішній тиск ( ), з формул (4.36) одержуємо
|
(4.38) |
Епюри цих напружень зображені на рис. 4.12, б. У точках внутрішньої поверхні при
;
а в точках зовнішньої поверхні при
;
.