- •1.1 Гіпотези й принципи теорії пружності
- •1.2 Напружений стан в точці тіла. Тензор напруг
- •1.2.1 Зовнішні сили й напруги
- •1.2.2 Диференціальні рівняння рівноваги
- •1.2.3 Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні
- •1.2.4 Головні напруги. Інваріанти напруженого стану
- •1.2.5 Тензор напруг. Найбільші дотичні напруження
- •1.3 Деформований стан у точці тіла. Тензор деформацій
- •1.3.1 Переміщення й деформації. Взаємозв'язок між ними
- •1.3.2 Об'ємна деформація
- •1.3.3 Рівняння нерозривності деформацій
- •1.3.4 Тензор деформацій. Головні деформації
- •1.4 Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
- •1.5 Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій
- •2.1 Повна система рівнянь теорії пружності
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •2.4 Типи граничних умов на поверхні тіла
- •2.5 Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
- •3.1 Плоска деформація і плоский напружений стан
- •3.2 Методи рішення плоскої задачі для прямокутних однозв'язних областей
- •3.3 Згинання консолі силою, прикладеною на кінці
- •3.4 Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження
- •3.5 Трикутна підпірна стінка
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана
- •Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах
- •4.1 Основні рівняння
- •4.2 Простий радіальний напружений стан
- •4.3 Клин, навантажений у вершині зосередженою силою
- •4.4 Стискання клина
- •4.5 Згинання клина
- •4.6 Дія зосередженої сили, прикладеної до границі напівплощини
- •4.7 Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
- •4.8 Осесимметричні задачі. Рішення в переміщеннях
- •4.9 Розрахунок труби з товстими стінками (задача Ламе)
- •4.10 Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
- •4.11 Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна
- •4.12 Поняття про розрахунок циліндричних котків
- •6.13 Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
- •5.1 Основні поняття й гіпотези
- •5.2 Переміщення і деформації в пластинці
- •5.3 Напруження в пластинці
- •5.4 Зусилля в пластинці
- •5.5 Вираження напружень через зусилля
- •5.6 Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки
- •5.7 Умови на контурі пластинки
- •5.8 Прямокутна пластинка. Рішення Нав’є
- •5.9 Прямокутна пластинка. Розв’язок Леві
- •5.10 Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на пружній основі
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •5.12 Найпростіші осесиметричні задачі вигину круглої пластинки
- •5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.1 Сутність варіаційних методів розв’язання
- •6.2 Метод Рітца-Тимошенко
- •6.3 Метод Бубнова-Гальоркіна
- •6.4 Метод Власова
- •6.5 Потенційна енергія при вигині пластинки
- •6.6 Приклад розв’язання задачі методом Рітца-Тимошенко
- •6.7 Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
5.13 Поняття про розрахунок гнучких пластинок
Тонкі пластинки, що мають прогини більші чверті своєї товщини, називаються гнучкими. Для них гіпотеза про недеформованість серединної площини виявляється несправедливою, тому що в ній виявляються деформації розтягання, стиску й зрушення. Крім того, зусилля серединної площини гнучкої пластинки залежать від її прогинів.
При більших прогинах точки серединної площини одержують переміщення й уздовж осей x і y (рис. 5.19).
Рис. 5.19. Переміщення в гнучкій пластинці
Тоді формули (5.4) приймають вигляд
Точно так само у формулах (5.5) з'являються деформації точок серединної площини , і :
Ці формули ускладнюються ще й тим, що деформації точок серединної площини залежать від прогинів нелінійно:
|
(5.36) |
тому що в цьому випадку квадрати похідних і мають той же порядок малості, що й похідні й .
Напруги в гнучкій пластинці приводяться не тільки до згинаючих і крутних моментів і поперечних сил (5.8), (5.9), (5.10), але й до нормальним і зрушуючих сил у серединній площині (рис. 5.20):
Рис. 5.20. Нормальні й зрушуючі сили
Записані формули містять невідомі складових переміщень точок серединної площини й . Крім цих переміщень, одержуємо рівняння нерозривності деформацій, що зв'язує зусилля в серединній площині пластинки:
|
(а) |
Складемо рівняння рівноваги нескінченно малого елемента серединної площини гнучкої пластинки, що перебуває як під дією поперечних сил, так і під дією сил у її серединній площині (рис. 5.20). Проекція сил на вісь x дає
звідки після спрощення й розподілу на знаходимо
|
(б) |
Аналогічно з рівняння проекцій на вісь y одержуємо
|
(в) |
При проектуванні сил на вісь z гнучку пластинку варто розглядати в деформованому стані. На рис. 5.21 показаний переріз площиною, паралельною , нескінченно малого елемента серединної площини пластинки після скривлення. У цій площині видно сили
і
кути нахилу яких щодо осі відповідно рівні
і
При проектуванні врахуємо, що косинус малого кута дорівнює одиниці, а синус - самому куту, тобто в даній площині
Рис. 5.21. Перетин елемента площиною
Спроектуємо нормальні сили в розглянутій площині на вісь z:
Після спрощення й відкидання величин третього порядку малості одержимо
|
(г) |
Аналогічно можна одержати проекцію на вісь z нормальних сил у площині :
|
(д) |
Розташування дотичних сил після деформації гнучкої пластинки показане на рис. 5.22.
Рис. 5.22. Розташування дотичних сил після деформації
На тому же рисунку показані кути, що формуються цими силами з координатною площиною . Спроектуємо ці сили на вісь z:
Після спрощення й відкидання величин третього порядку малості з урахуванням закону парності дотичних зусиль одержимо
|
(е) |
На проекцію поперечних зусиль скривлення пластинки не впливає, тому беремо її у формі (5.12). Додаючи до цієї залежності проекції (г)—(е), розділені на , після відповідного згрупування одержуємо
Вирази, що знаходяться в дужках, відповідно до співвідношень (б) рівні (в) нулю. Підставляючи потім з (5.9) вирази поперечних сил, знаходимо
|
(ж) |
Якщо ввести функцію Ері у формі
|
(5.37) |
то рівняння (ж) і (а) приймуть вигляд
|
(5.38) |
Тут введений оператор
|
(5.39) |
При цьому оператор виходить із оператора (5.39) заміною функції на функцію .
Система нелінійних рівнянь (5.38), що зв'язує функцію напруг у серединній площині пластинки й функцію прогинів, введена німецьким ученим Т. Карманом. Разом із граничними умовами вона представляє основну систему нелінійних диференціальних рівнянь теорії гнучких пластинок. Розв’язок цієї системи в загальному вигляді не отримано. У цей час за допомогою теорії пластинок отриманий ряд частинних розв’язків для рівномірно розподіленого поперечного навантаження, а також для пластинок, що втрачають стійкість при стиску й зрушенні в їхній серединній площині.
У випадку жорсткої пластинки, коли прогини малі в порівнянні з її товщиною, необхідно прийняти функцію . Тоді рівняння (5.38) зводиться до рівняння (5.16).
РОЗДІЛ 6. ВАРІАЦІЙНІ МЕТОДИ розв’язання ЗАДАч ПО ТЕОРІЇ ВИГИНУ ПЛАСТИНОК