Розв’язування
Оскільки розподіл
випадкової величини
симетричний відносно осі ординат, то
всі непарні моменти дорівнюють 0, тобто
,
,
.
Тоді за формулою (1.35) коефіцієнт асиметрії
також дорівнює нулю
.
Для знаходження
ексцесу необхідно обчислити парні
початкові моменти
та
:
;
Аналогічним чином можна показати, що
.
Тоді
та
,
звідки за формулою (1.36)
(оскільки
).
Оскільки ексцес розподілу додатній, то крива даного розподілу має гостру вершину (рис. 1.12).
Р
исунок
1.12
1.7 Приклади розв’язування задач
Приклад 1.15 В білеті з "Прикладної механіки" три задачі. Ймовірність правильного розв’язування першої задачі дорівнює 0,9, другої – 0,8, третьої – 0,7. Скласти закон розподілу числа правильно розв’язаних задач в білеті та обчислити математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.
Розв’язування
Випадкова величина – число правильно розв’язаних задач білета з трьох заданих задач. Зрозуміло, що можливими значеннями цієї величини є 0, 1, 2, 3. Знайдемо ймовірності цих значень. Розглянемо елементарні події та їх ймовірності:
="
-та
задача білету розв’язана правильно";
="
-та
задача білету розв’язана не правильно";
;
;
;
;
;
;
.
Тоді подія
означає, що жодна задача білету не
розв’язана правильно, тобто
і її ймовірність дорівнює
.
Випадкова величина
набуде значення
,
якщо буде правильно розв’язано лише
одну задачу з трьох (першу, другу або
третю), тобто
.
Міркуючи аналогічно одержуємо:
;
.
Таким чином, ряд розподілу випадкової величини такий:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,006 |
0,092 |
0,398 |
0,504 |
Обчислимо числові характеристики даної випадкової величини. За формулами (1.3) та (1.15) маємо:
;
;
;
.
Приклад 1.16 Ймовірність ураження вірусним захворюванням куща малини дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа кущів малини інфікованих вірусом серед чотирьох висаджених кущів.
Розв’язування
Випадкова величина
– число уражених вірусом кущів з чотирьох
висаджених. Зрозуміло, що можливими
значеннями цієї величини є 0, 1, 2, 3 та 4.
Знайдемо ймовірності цих значень. Нехай
="Ураження
куща вірусом". В нашому випадку
потрібно знайти ймовірність того, що з
чотирьох висаджених кущів уражено
вірусом 0, 1, 2, 3 або 4. За формулою Бернуллі
(
)
маємо:
;
;
;
;
.
Таким чином, ряд розподілу випадкової величини такий:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0,6561 |
0,2916 |
0,0486 |
0,0036 |
0,0001 |
Обчислимо числові характеристики даної випадкової величини. За формулами (1.3) та (1.15) маємо:
;
;
;
.
Приклад 1.17 Дано ряд розподілу випадкової величини :
-
2
4
Знайти функцію розподілу даної випадкової величини, якщо її математичне сподівання дорівнює 3,4, а дисперсія дорівнює 0,84.