Розв’язування

Несуміщеною оцінкою генеральної частки є вибіркова частка

2. Оцінка генеральної середньої. Нехай із генеральної сукупності об’єму відібрано випадкову вибірку , де -– випадкова величина, що є значенням ознаки в -му елементі вибірки. Потрібно знайти «найкращу» оцінку генеральної середньої.

Розглянемо в якості такої можливої оцінки вибіркову середню . Для повторної вибірки закон розподілу для кожної випадкової величини такий:

Таблиця 3.7

			…		…
			…		…

Вибіркова середня повторної вибірки є суміщеною оцінкою генеральної середньої з дисперсією

. (3.20)

Знайдемо числові характеристики випадкової величини :

, (3.21)

, (3.22)

Тобто математичне сподівання та дисперсія кожної випадкової величини є відповідно генеральною середньою та генеральною дисперсією.

Для безповторної вибірки випадкові величини є залежними. Тоді розглянемо, наприклад, події та . Тепер ймовірність , оскільки відібраний елемент у вихідну сукупність не повертається, то в ній залишається елемент, серед яких елемент має ознаку . Ця ймовірність не дорівнює , тобто події та – залежні. Аналогічно можна показати залежність інших подій. Слід відмітити, що вибіркова середня без повторної вибірки є несуміщеною оцінкою генеральної середньої з дисперсією

. (3.23)

Приклад 3.7 Знайти несуміщену оцінку середнього виробітку кравчинь швейного цеху з за даними з табл. 3.2.

Розв’язування

Несуміщеною оцінкою генеральної середньої є вибіркова середня, яку ми обчислили в прикладі 3.2 .

3. Оцінка генеральної дисперсії. Вибіркова дисперсія повторної та без повторної вибірки є суміщеною оцінкою генеральної дисперсії , причому

. (3.24)

Приклад 3.8 Знайти несуміщену оцінку дисперсії виробітку кравчинь швейного цеху з за даними з табл. 3.2.

Розв’язування

Несуміщеною оцінко. Дисперсії випадкової величини (генеральної дисперсії) є вибіркова дисперсія, яку обчислюємо так.

За формулою (3.9)

.

Згідно з формулою (3.24) маємо:

.

Всі розглянуті методи оцінюють параметри одним числом. Такі оцінки називають точковими. Однак точкова оцінка є лише наближеним значенням невідомого параметра навіть в тому випадку, якщо вона несуміщена, ефективна та для вибірки малого об’єму може істотно відрізнятись від реального .

Інтервальною оцінкою параметра називають числовий інтервал , який із заданою ймовірністю накриває невідоме значення параметра (рис. 3.5)

Рисунок 3.5

Зрозуміло, що межі інтервалу є випадковими величинами. Такий інтервал називають довірчим, а ймовірність – довірчою ймовірністю, рівнем довіри або надійністю оцінки.

Величина довірчого інтервалу істотно залежить від об’єму вибірки (зменшується з ростом ) та від значення довірчої ймовірності (збільшується з наближенням до одиниці).

При побудові довірчого інтервалу для генеральної середньої та генеральної частки великих вибірок потрібно пам’ятати, що ймовірність того, що відхилення вибіркової середньої (або частки) від генеральної середньої (або частки) не перевищить число (за абсолютною величиною) дорівнює:

, (3.25) де

, (3.26) де

– функція (інтеграл ймовірностей) Лапласа.

Середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої та вибіркової частки називають середньою квадратичною (стандартною) помилкою вибірки (для без повторної вибірки позначаємо відповідно та ).

Зауваження! 1. При заданій довірчій ймовірності гранична похибка дорівнює -кратній величині середньої квадратичної помилки, де , тобто , .

2. Інтервальні оцінки (довірчі інтервали) для генеральної середньої та генеральної частки можна знайти за формулами:

, (3.27)

. (3.28)

Формули для обчислення середніх квадратичних похибок зведемо в таблицю (табл. 3.8).

Таблиця 3.8

Параметр, що оцінюється	Формули середніх квадратичних похибок вибірки
	повторна вибірка	безповторна вибірка
Середня	(3.28)	(3.29)
Частка	(3.30)	(3.31)

Приклад 3.9 При дослідженні виробітку 1000 кравчинь в звітному році у порівнянні з попереднім було відібрано 100 кравчинь (див. табл. 3.2). Необхідно визначити: а) ймовірність того, що середній виробіток кравчинь швейного цеху відрізняється від середньої вибіркової не більш ніж на 1% (за абсолютною величиною); б) межі, в яких з ймовірністю 0,9545 знаходиться середній виробіток кравчинь швейного цеху. Розглянути варіант повторної та без повторної вибірки.