Розв’язування
Дослідимо для вказаних значень параметрів біноміального розподілу точність асимптотичної формули Муавра–Лапласа.
Перший випадок.
n:= 10
PB1:= dbinom (k, n, 0.7)
PB2:= dbinom (k, n, 0.5)
PB3:= dbinom (k, n, 0.2)
PB1 = 0.103 PB2 = 0.246 PB3 = 0.026
PM1 = 0.106 PM2 = 0.252 PM3 = 0.019
Другий випадок
n:= 30
PB1:= dbinom (k, n, 0.7)
PB2:= dbinom (k, n, 0.5)
PB3:= dbinom (k, n, 0.2)
PB1 = 0.011
PB2 = 0.144 PB3 = 1.788
PM1 =
9.128
PM2 = 0.146 PM3 = 3.944
Третій випадок
n:= 50
PB1:= dbinom (k, n, 0.7)
PB2:= dbinom (k, n, 0.5)
PB3:= dbinom (k, n, 0.2)
PB1 =1.436
PB2 = 0.112 PB3 = 1.602
PM1 =
1.053
PM2 = 0.113 PM3 = 1.102
Висновок: Наведені обчислення повністю підтверджують теоретичні твердження: похибка апроксимації зменшується із зростанням і по мірі наближення і до 0,5.
Інтегральна теорема Муавра –Лапласа
Нехай
,
тоді для випадкової величини, яка має
біноміальний розподіл з параметром
коли
для довільних
а
і в
справедлива формула
.
Це означає наступне.
Для обчислення ймовірності того, що
число успіхів в
випробуваннях Бернулі належить проміжку
(
;
)
можна використовувати формулу
,
де
–
функція Лапласа;
;
.
Точність цієї
формули зростає із зростанням
.
Якщо
порівняно невелике, то краще наближення
дає формула
,
Тобто для обчислення
ймовірності того, що число успіхів в
випробуваннях Бернулі належить проміжку
(
;
),
можна використовувати формулу
,
де
; .
Зауваження: В
MathСad
для обчислення значень Ф(х) призначена
функція pnorm(x,0,1).
Функція
pnorm(x,0,1)
обчислює значення нормальної функції
розподілу з нульовим математичним
сподіванням і одиничним середнім
квадратичним відхиленням
Приклад 4.7
Ймовірність народження хлопчика
,
дівчинки –
.
Знайти ймовірність того, що серед 10000
новонароджених хлопчиків буде не менше
3800 і не більше 5100.
Розв’язування
p:= 0.51
q: =1– p
n: = 10000
k1: =38000
k2: = 5100
PB: = pbinom (k2, n, p) – pbinom (k1, n, p)
PB: =0.504
PM: = pnorm (x2, 0, 1) – pnorm (x1, 0, 1)
PM = 0.5
Наведені обчислення повністю підтверджують теоретичні твердження: наближені значення ймовірностей співпадають з ймовірностями, які обчислені за формулою Бернулі.
Теорема Бернулі
Деякі важливі
задачі, які пов’язані зі схемою Бернулі,
розв’язуються за теоремою Бернулі.
Так, якщо
–
число успіхів в
випробуваннях з ймовірністю успіху в
одному випробуванні
,
,
для довільного
Це означає, що із
зростанням числа випробувань
відносна частота успіхів
наближається до ймовірності
успіху в одному випробуванні.
Визначимо, скільки
потрібно провести випробувань, щоб
відхилення частоти успіхів
від ймовірності
було меншим
з ймовірністю, більшою або рівною
,
тобто знайдемо
,
для якого виконується нерівність
.
Доведено, що число
забезпечує виконання цієї нерівності
якщо воно задовольняє відношення
,
де
–
розв’язок рівняння
.
Необхідно звернути
особливу увагу на факт – шукане
значення
не залежить від
і тому формулою
необхідно користуватися для оцінки
мінімального необхідного числа
випробувань за умови, що ймовірність
-
невідома. Якщо ймовірність
відома спочатку, необхідне число
випробувань визначається формулою
.
В Mathcad
значення кореня для рівняння
дає функція
.
Приклад 4.8 Виробник стверджує, що негативне відношення покупця до нового товару невелика. Скільки потрібно опитати людей, щоб з ймовірністю не менше 0.8 можна було стверджувати, що відносна частота негативного відношення до нового товару відрізняється від заявленої виробником не більше ніж на 0.01.