В.І. Клочко, Н.В. Сачанюк-Кавецька, М.Б. Ковальчук, Н.Б. Дубова

Елементи теорії ймовірностей та

математичної статистики

частина 2

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

В.І. Клочко, Н.В. Сачанюк-Кавецька, М.Б. Ковальчук, Н.Б. Дубова

Елементи теорії ймовірностей та метематичної статистики

частина 2

Затверджено Вченою радою Вінницького національного технічного університету як навчальний посібник студентів технічних спеціальностей. Протокол № від 2010 р.

Вінниця ВНТУ 2010

УДК 519.21(075.8)

К 50

Рецензенти:

А.І. Дзундза, доктор педагогічних наук, професор

Р.Н. Квєтний, доктор технічних наук, профессор

Л.М. Михайленко, кандидат педагогічних наук, доцент

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

В.І. Клочко, Сачанюк-Кавецька Н.В., М.Б. Ковальчук, Дубова Н.Б.

К 50 Елементи теорії ймовірностей те математичної статистики. Частина 2. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 176 с.

В посібнику розглянуто випадкові величини: їх види, числові характеристики, закони розподілу. Окремими темами подано математичну статистику та приклади розв’язування задач за допомогою Mathcad.

Наведена достатня кількість прикладів та задач, в тому числі і прикладного характеру, які вдало доповнюють текстовий матеріал, зрозумілі і легко сприймаються. Істотною особливістю даного посібника є розгляд в кожній з тем творчих завдань чи завдань підвищеної складності, що дозволить здійснити диференційований підхід при роботі із студентами.

До кожної теми розроблені питання для самоперевірки та розглянуто достатньо варіантів завдань для самостійної роботи.

Посібник розрахований на студентів технічних спеціальностей.

УДК 519.21(075.8)

© В. І. Клочко

Н. В. Сачанюк-Кавецька,

М.Б. Ковальчук

Н.Б. Дубова, 2010

ЗМІСТ

Тема 1 випадкові величини

1. Поняття випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичні операції над випадковими величинами 4

2. Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості 9

3. Дисперсія дискретної випадкової величини 13

4. Функція розподілу випадкової величини 19

5. Неперервні випадкові величини 22

6. Мода, медіана, квантилі, моменти випадкових величин. Асиметрія та ексцес 30

7. Приклади розв’язування задач 36

Питання для самоперевірки 51

Завдання для самостійної роботи 52

Тема 2 основні закони розподілу

2.1 Біноміальний закон розподілу 69

2.2 Закон розподілу Пуассона 71

2.3 Рівномірний закон розподілу 73

2.4 Показниковий закон розподілу 76

2.5 Нормальний закон розподілу 80

2.6 Розподіл 88

2.7 Розподіл Ст’юдента 90

2.8 Розподіл Фішера-Снедекора 91

Питання для самоперевірки 92

Завдання для самостійної роботи 93

Тема 3 елементи математичної статистики

3.1 Варіаційні ряди, їх графічне представлення та характеристика 99

3.2 Поняття оцінки параметрів. Методи знаходження оцінок 119

3.3 Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки 127

Питання для самоперевірки 139

Завдання для самостійної роботи 141

Тема 4 розв’язування задач засобами mathcad 150

СЛОВНИК ОСНОВНИХ ТЕРМІНІВ 170

ДОДАТКИ 171

ЛІТЕРАТУРА 176

Тема 1 випадкові величини

1. Поняття випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Математичні операції над випадковими величинами

Випадковою величиною (casual size) називається змінна, що в результаті проведення випробування в залежності від випадку набуває одного з можливих значень.

Прикладами випадкових величин є:

1. число новонароджених протягом доби в м. Вінниці;

2. кількість бракованих виробів в партії;

3. витрати електроенергії на підприємстві протягом місяця.

Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її можливих значень є зчисленою (скінченною чи нескінченною).

Неперервною випадковою величиною розуміють величину, множина можливих значень якої є деякий проміжок числової осі.

З попередніх прикладів 1-2 є дискретними випадковими величинами, а 3-й приклад – неперервна випадкова величина.

Випадкові величини будемо позначати великими літерами латинської абетки , а їх можливі значення – відповідними маленькими літерами .

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними їм ймовірностями.

Розглянемо дискретну випадкову величину з можливими значеннями . Події , , … , (в результаті випробування випадкова величина набула значення відповідно) є несумісними та єдино можливими, тобто утворюють повну групу. Позначивши ймовірності цих подій буквами з відповідними індексами: , , … , , одержимо

. (1.1)

Найпростішою формою представлення закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця, в якій перераховані в порядку зростання усі можливі значення випадкової величини та відповідні їм ймовірності, тобто

:

		…		…
		…		…

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Ряд розподілу може бути поданий графічно, якщо вздовж осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а вздовж осі ординат – відповідні ймовірності. З’єднавши отримані дискретні точки прямолінійними відрізками одержуємо ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис.1.1).

Р исунок 1.1

Приклад 1.1 Ймовірності того, що студент складе семестровий іспит в сесію з «Вищої математики» та «Теоретичних основ електротехніки», дорівнюють відповідно 0,9 та 0,7. Скласти закон розподілу кількості семестрових іспитів, які складе студент та побудувати полігон цього розподілу.