Розв’язування

Нехай випадкова величина Х – число викликів кореспондента – може набувати значення 1, 2, 3, 4, 5. Позначимо А_і – і–й виклик прийнято (і=1, 2, 3, 4, 5). Тоді ймовірність того, що перший виклик прийнято:

p₁: = 0.4

q₁: = 1– p₁

q₁: = 0.6

Другий виклик відбудеться лише за умови, що перший виклик не прийнято, тобто:

p₂ : = q₁ p₁

p₂ : = 0.24

Аналогічно:

p₃: = (q)² p₁;

p₃ = 0.144

p₄: = (q)³ p₁

p₄ = 0.086

p₅: = (q)⁴

Перевірка:

Складемо закон розподілу числа викликів, якщо викликів не більше 5.

Ряд розподілу

i : = 1..5

p_i =

0.4

0.24

0.144

0.086

0.13

Функція розподілу

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію.

M = 2.306; D = 1.96

Приклад 4.4 . Побудувати геометричний розподіл для серії із 30 незалежних випробувань з ймовірністю успіху .

Розв’язування

k: =0..30

P1_k: = dgeom (k, 0.4)

F1(k): = pgeomom (k, 0.4)

Приклад 4.5 Побудувати пуасонівський розподіл для серії із 20 незалежних випробувань з параметром . Побудувати графіки функцій розподілу. Обчислити ймовірність попадання значень випадкової величини з параметром у проміжок (1; 5). Для кожного розподілу знайти значення k, для якого величина p_k максимальна.

Розв’язування

k: =0..20

p_k =

0.819
0.164
0.016
1.092·10–3
5.458·10–5
2.183·10–6
7.278·10–8
2.079·10–9
5.198·10–11
1.155·10–12
2.31·10–14
0
0
0
0
0

k: = 0..20

P1_k =

0.67

0.268

0.054

7.15·10–3

7.15·10–3

5.72·10–5

3.813·10–6

2.179·10–7

1.09·10–8

4.842·10–10

1.937·10–11

7.043·10–13

2.348·10–14

0

0

0

Для виконання обчислень з випадковими величинами (дискретними і неперервними) в MathСad є бібліотека функцій стандартних розподілів.

В MathСad для обчислення щільності ймовірності і функції розподілу випадкової величини, яка має Пуасонівський розподіл, використовують функції dpois(k, ) і ppois(k, ), значення яких – відповідно p_k і F(k).

Побудуємо многокутники розподілів і графіки функцій розподілу.

k: =0..20

P1_k: = dpois (k, 0.2)

F1(k): = ppois (k, 0.2)

Перевірка:

Найімовірніше значення розподілу з параметром

д орівнює P1₀ = 0.819

P2_k: = dpois (k, 0.4)

F2(k): = ppois (k, 0.4)

Найімовірніше значення розпо-

ділу з параметром

дорівнює P2₀ = 0.67

Ймовірність попадання значень випадкової величини з параметром у проміжок (1; 5) дорівнює :

F1(5)–F(1)=0.018

Приклад 4.6 (локальна теорема Муавра-Лапласа). Для і обчисліть ймовірності того, що випадкова величина, яка має біноміальний розподіл набуває значення, яке дорівнює . Проведіть обчислення за формулою Бернулі та Муавра-Лапласа. Порівняйте результати.