Розв’язування

За умовою математичне сподівання , звідки і за формулами (2.11) та (2.12) щільність ймовірності та функція розподілу такі:

; .

Шукана ймовірність знайдемо використовуючи функцію розподілу

Зрозуміло, що днів.

Приклад 2.7 Час безвідмовної роботи двигуна автомобіля розподілений за показниковим законом. Відомо, що середній час безвідмовної роботи двигуна між технічним обслуговуванням рівний 100 годинам.

Визначити ймовірність безвідмовної роботи двигуна за 80 годин.

Розв’язування

Нехай випадкова величина – час безвідмовної роботи. Середній час безвідмовної роботи рівний його математичному сподіванню: . Оскільки , то . Отже за формулою (2.15) .

2.5 Нормальний закон розподілу

Даний закон найбільш широко застосовується на практиці, оскільки він є граничним законом, до якого наближаються інші закони.

Неперервна випадкова величина має нормальний закон розподілу (normal law of distribution) (закон Гаусса) з параметрами та , якщо її щільність ймовірності така:

. (2.16)

Криву нормального закону розподілу називають нормальною або гауссовою кривою. На рис. 2.3 наведено нормальну криву з параметрами та , тобто , та графік функції розподілу випадкової величини , що нормальний закон.

Рисунок 2.3

Нормальна крива симетрична відносно прямої . Значення є точкою максимум, причому . Існують дві точки перегину з ординатою .

Теорема 2.4 Математичне сподівання випадкової величини , розподіленої за нормальним законом, дорівнює параметру цього закону, тобто

, (2.17)

а її дисперсія – параметру , тобто

. (2.18)

Доведення

Математичне сподівання випадкової величини :

.

Зробимо заміну змінної, позначивши , тоді та , межі інтегрування не змінюються. Маємо

(перший інтеграл дорівнює нулю як інтеграл від непарної функції по симетричному відносно початку координат проміжку, а другий інтеграл – інтеграл Ейлера-Пуассона).

Дисперсія випадкової величини :

.

Робимо ту саму заміну змінної, як і при обчисленні попереднього інтеграла. Тоді

.

З’ясуємо як буде змінюватись нормальна крива при зміні параметрів та (або ). Якщо , а змінюється параметр, тобто центр симетрії, то нормальна крива буде суміщатися вздовж осі абсцис, не змінюючи форми (рис. 2.4)

Рисунок 2.4

Якщо а змінюється параметр , то змінюється ордината максимуму кривої . При збільшенні ордината максимуму кривої зменшується, але оскільки площа під довільною кривою розподілу повинна залишатись рівною одиниці, то крива стає більш пласкою, розтягуючись вздовж осі абсцис; при зменшенні нормальна крива витягається вверх, одночасно стискуючись з боків. На рис. 2.5 зображено нормальні криві з параметрами .

Таким чином, параметр характеризує положення центра, а параметр – форму нормальної кривої.

Нормальний закон з параметрами та , тобто , називають стандартним або нормованим, а відповідну нормальну криву – стандартною або нормованою.

Рисунок 2.5

Теорема 2.5 Функція розподілу випадкової величини , розподіленої за нормальним законом, можна виразити за допомогою функції Лапласа так:

. (2.19)