Розв’язування

Ймовірність того, що похибка одного вимірювання не перевищить 4 мм обчислюється за формулою . Отже маємо

.

Тоді ймовірність того, що похибка вимірювання перевищує 4 мм становить . Таким чином, ймовірність того, що із трьох вимірювань похибка хоча б одного не перевищуватиме 4 мм дорівнює

.

Приклад 2.10 Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=10. Імовірність попадання Х в інтервал (10;20) дорівнює 0,3. Знайти ймовірність попадання Х в інтервал (0;10)

Розв’язування

За формулою (2.19) маємо

.

З іншого боку

(в силу непарності функції Лапласа).

0. 2.6 Розподіл

Розподілом (хі-квадрат) з ступенями свободи (табл. E додатків) називають розподіл суми квадратів незалежних випадкових величин, розподілених за стандартним нормальним законом, тобто

, (2.23)

де має нормальний розподіл .

Щільність ймовірності - розподілу така:

де – гамма-функція Ейлера (для цілих додатніх значень ).

Криві -розподілу для різних значень ступенів свободи наведено

на рис. 2.9.

Рисунок 2.9

Очевидно, що - розподіл асиметричний з правосторонньою (додатною) асиметрією. При розподіл випадкової величини близький до стандартного нормального закону .

0. 2.7 Розподіл Ст’юдента

Розподілом Ст’юдента (distribution of Students) (або - розподілом, див. табл. D додатків) називають розподіл випадкової величини

, (2.24)

де має нормальний розподіл .

– незалежна від випадкова величина, що має - розподіл з ступенями свободи.

Щільність ймовірності Ст’юдента така:

,

де – гамма-функція Ейлера.

На рис. 2.10 наведено криву розподілу Ст’юдента. Як і стандартна нормальна крива, крива - розподілу симетрична відносно осі ординат, але у порівнянні з нормальною більш пласка.

Рисунок 2.10

Практично при розподіл випадкової величини близький до стандартного нормального закону .

Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Ст’юдента, дорівнює нулю (оскільки крива розподілу симетрична), а дисперсія – .

0. 2.8 Розподіл Фішера-Снедекора

Розподілом Фішера-Снедекора (або -розподілом, див. табл. С додатків) називають розподіл випадкової величини

(2.25)

де та – випадкові величини, що мають розподіл відповідно з та ступенями свободи.

Щільність ймовірності -розподілу така

.

На рис. 2.11 зображено криві -розподілу при деяких значеннях числа ступенів свободи та .

Рисунок 2.11

При -розподіл наближається до нормального закону.

Питання для самоперевірки

1. Охарактеризуйте біноміальний закон. Вкажіть область застосування цього закону.

2. Доведіть коректність означення закону Пуассона. Чому дорівнюють математичне сподівання та дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона.

3. Доведіть, що сума двох незалежних випадкових величин, розподілених за законом Пуассона з параметрами та , також розподілена за законом Пуассона з параметром .

4. Охарактеризуйте рівномірний закон розподілу. Доведіть, що для цього закону , а дисперсія

5. Охарактеризуйте показниковий закон та вкажіть область його застосування. Доведіть, що для показникового закону , .

6. Довести, що якщо проміжок часу , розподілений за показниковим законом, вже тривав деякий час , то це ніяк не впливає на закон розподілу проміжку .

7. Запишіть функцію щільності ймовірності нормального закону. Доведіть, що , .

8. Як буде змінюватись нормальна крива при зміні параметрів та ?

9. Доведіть, що нормальна функція розподілу визначається за формулою .

10. Охарактеризуйте та доведіть властивості нормально розподіленої випадкової величини.

11. Сформулюйте правило «трьох сігм».

12. Охарактеризуйте розподіли , Ст’юдента та Фішера-Снедекора.