Розв’язування

В нашому випадку тестуємо гіпотезу : та , тобто середня продуктивність однакова за новою та старою технологіями. В якості конкуруючої гіпотези розглянемо гіпотезу , оскільки справедливість цієї гіпотези означає ефективність застосування нової технології. За формулою (3.34) фактичне значення статистики критерію

.

За формулою (3.35) знайдемо критичне значення статистики ; звідки за таблицею А додатків . Оскільки фактичне значення статистики більше за критичне, то гіпотеза не приймається, тобто на 5%-му рівні значимості можна стверджувати, що нова технологія дозволяє підвищити середню продуктивність робітників.

2. Перевірка гіпотез про рівність дисперсій двох сукупностей.

Гіпотези про дисперсії виникають доволі часто, оскільки дисперсія характеризує такі важливі показники, як точність машин, приладів, технологічних процесів, ризик, пов’язаний із відхиленням дохідності активів та очікуваного рівня і т.д.

Сформулюємо задачу. Нехай є дві нормально розподілені сукупності дисперсії яких дорівнюють та . Необхідно перевірити нуль-гіпотезу про рівність дисперсій, тобто : = відносно конкуруючої гіпотези : чи :

Для перевірки гіпотези із цих сукупностей взято дві незалежні вибірки об’ємом та . Для оцінки дисперсій використовуються «виправлені» вибіркові дисперсії та . Тобто, задача перевірки гіпотези зводиться до порівняння цих дисперсій.

Вибіркові статистики та мають розподіл відповідно з та ступенями свободи, а їх відношення має розподіл Фішера Снедекора з та ступенями свободи. Отже, випадкова величина , визначається відношенням

. (3.37)

Гіпотеза відкидається, якщо розрахована -статистика більша табличного значення (див. табл. С додатків).

Приклад 3.13 На двох слюсарних станках обробляють втулки. Відібрано дві проби: серед втулок, оброблених на першому станку шт., на другому станку – шт. За даними цих вибірок розраховані вибіркові дисперсії (для першого станка) та (для другого станка). Припускаючи, що розміри втулок підпорядковуються нормальному закону, на рівні значимості з’ясувати, чи можна вважати, що станки мають різну точність.

Розв’язування

Необхідно перевірити нуль-гіпотезу про рівність дисперсій розміру втулок, тобто : = відносно конкуруючої гіпотези : (дисперсія першого станка більша). За (3.37) статистика критерію така:

.

За таблицею С додатків критичне значення -критерію на рівні значимості при та дорівнює . Оскільки то гіпотеза не відкидається, тобто наявні дані не дозволяють вважати, що станки мають різну точність.

3. Побудова теоретичного закону розподілу за експериментальними даними. Перевірка гіпотез про закон розподілу

Однією з найважливіших задач математичної статистики є встановлення теоретичного закону розподілу випадкової величини, яка характеризує досліджувану ознаку за емпіричним розподілом, що подає варіаційний ряд.

Припущення щодо виду закону розподілу може бути висунуте виходячи із теоретичних передумов, досвіду аналогічних попередніх досліджень та на основі графічного зображення емпіричного розподілу.

На практиці найчастіше застосовують - критерій Пірсона для встановлення розбіжності між теоретичним та емпіричним законами розподілу. В якості міри розбіжності обирають величину , рівну сумі квадратів відхилень статистичних ймовірностей від гіпотетичних ймовірностей , розрахованих за припущеним розподілом, взятих з деякими вагами :

. (3.38)

Ваги вводять таким чином, щоб за одних і тих самих відхиленнях більшу вагу мали ті відхилення, при яких ймовірність мала, та меншу вагу – при яких велика. Обравши можна показати, що при статистика

,

чи

(3.39)

мають розподіл з ступенями свободи, де

– число інтервалів емпіричного розподілу (варіаційного ряду);

– число параметрів теоретичного розподілу, обчислених за експериментальними даними.

Числа та називають відповідно емпіричними та теоретичними частотами.

Схема застосування критерію для перевірки нуль-гіпотези така:

1. Визначають міру розбіжності емпіричних та теоретичних частот за (3.39).

2. Для обраного рівня значимості за таблицею - розподілу знаходять критичне значення при числі ступенів свободи (табл. E додатків).

3. Якщо розраховане значення більше за критичне, тобто > , то гіпотеза не суперечить практичних даним.

Зауваження. При застосуванні критерію Пірсона необхідно, щоб в кожному інтервалі було не менше 5 спостережень.

Приклад 3.14 Для емпіричного розподілу кравчинь швейного цеху за виробітком за даними перших двох граф табл.3.2 добрати відповідний теоретичний розподіл та на рівні значимості перевірити гіпотезу про згоду двох розподілів за допомогою критерію .