Розв’язування

За виглядом гістограми розподілу кравчинь за виробітком (рис. 3.6) можна припустити нормальний закон розподілу ознаки.

Рисунок 3.6

Параметри нормального закону невідомі, тому замінюємо їх «найкращими» оцінками за вибіркою – вибірковою середньою та «виправленою» вибірковою дисперсією . Оскільки число спостережень досить велике, то замість «виправленої» дисперсії можна взяти «звичайну» вибіркову дисперсію . В прикладах 3.7 та 3.8 було обчислено, що (%); .

Таким чином висуваємо гіпотезу : випадкова величина – виробіток кравчинь цеху – розподілений нормально з параметрами ; , тобто .

Для розрахунку ймовірностей потрапляння випадкової величини в інтервал використовуємо функцію Лапласа у відповідності із властивістю нормального розподілу:

.

Наприклад

та теоретична частота, що відповідає першому інтервалу і т.д.

Для визначення статистики зручно скласти таблицю:

Таблиця 3.11

	Інтервал	Емпіричні частоти	Ймовірності	Теоретичні частоти
1	94-100		0,017		5,76	0,758
2	100-106		0,059
3	106-112	11	0,141	14,1	9,61	0,682
4	112-118	20	0,228	22,8	7,84	0,344
5	118-124	28	0,247	24,7	10,89	0,441
6	124-130	19	0,182	18,2	0,64	0,035
7	130-136		0,087		0,16	0,014
8	136-142		0,029
		100	0,990	99,0	–	=2,27

Враховуючи, що в даному емпіричному розподілі частоти першого та останнього інтервалів менші 5, при використанні критерію -Пірсона доцільно об’єднати вказані інтервали із сусідніми (див. табл. 3.11).

Таким чином, спостережуване значення статистики =2,27. Оскільки нова кількість інтервалів , а нормальний закон розподілу визначається параметрами, то число ступенів свободи . Відповідне критичне значення статистики за табл. E додатків . Оскільки , то гіпотеза про обраний теоретичний нормальний закон узгоджується з практичними даними.

Зауваження. Для графічного зображення емпіричного закону та вирівнюючого теоретичного нормального розподілу необхідно використовувати однаковий для двох розподілів масштаб.

Вправи

3.9 Є такі статистичні дані про число викликів спеціалізованих бригад швидкої допомоги в м, Вінниці протягом 300 г:

Число викликів за годину	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Частота	15	71	75	68	39	17	10	4	1	300

Припускаючи, що число викликів швидкої розподілене за законом Пуассона при рівні значимості перевірити гіпотезу про узгодження двох розподілів за допомогою критерію .

3.10 Витрати сировини на одиницю продукції склали:

За старою технологією						За новою технологією
	303	307	308	Разом			303	304	306	308	Разом
	1	4	4	9			2	6	4	1	13

Припускаючи, що витрати сировини за кожною технологією мають нормальний розподіл з однаковими дисперсіями, на рівні значимості з’ясувати, чи дає нова технологія економію в середніх витратах сировини.

3.11 Вступний іспит проводили на двох факультетах інституту. На першому факультеті серед абітурієнтів витримали іспит ; а на іншому факультеті серед абітурієнтів – . На рівні значимості перевірит гіпотезу про відсутність суттєвих відмінностей в рівні підготовки абітурієнтів двох факультетів. Розглянути випадок при якому конкуруючою гіпотезою є .

3.12 Встановлено, що середня вага пігулки ліків сильної дії (номінал) повинен дорівнювати 0,5 мг. Вибіркова перевірка пігулок показала, що середня вага пігулки мг. На базі проведених досліджень можна вважати, що вага пігулки є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім квадратичним відхиленням мг. На рівні значимості : а) з’ясувати, чи можна вважати одержане у вибірці відхилення від номіналу випадковим; б) знайти потужність критеріїв, використаного в п. а).

3.13 Є такі дані про число складених іспитів в сесію студентами-заочниками:

Число складених іспитів	0	1	2	3	4
Число студентів	1	1	1	3	35	60

На рівні значимості перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина – число складених студентами іспитів – розподілена за біноміальним законом, використовуючи критерій -Пірсона.