Розв’язування

Нехай А – описана подія. Похибку заокруглення відліку можна розглядати, як випадкову величину Х , яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділками. Щільність рівномірного розподілу . При відліку буде зроблена похибка:

а) менша 0,04, якщо покази приладу округлені до попередньої з двох сусідніх поділок, тобто до 0, так що випадкова величина – подія або покази округлені до наступної поділки, тобто до 0,2, так, що – подія . Таким чином , як сума ймовірностей несумісних подій.

Оскільки , то

.

б) Похибка відліку перевищить 0,05, якщо вона буде знаходитись в інтервалі . Ймовірність такої події дорівнює

.

Приклад 2.4 Годинникова стрілка електричного годинника рухається стрибками в кінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в даний момент часу годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше, ніж на 20 с.

Розв’язування

Істинний час є випадковою величиною , яка рівномірно розподілена в інтервалі між двома сусідніми хвилинними поділками. Щільність рівномірного розподілу . Тоді

.

2.4 Показниковий закон розподілу

Неперервна випадкова величина має показниковий закон розподілу з параметром , якщо її щільність ймовірності така:

(2.11)

а функція розподілу визначається за формулою:

(2.12)

Крива розподілу та графік функції розподілу випадкової величини розподіленої за показниковим законом наведено на рис. 2.2 а, б.

Р исунок 2.2

Теорема 2.3 Якщо випадкова величина розподілена за показниковим законом, то її математичне сподівання

, (2.13)

а дисперсія

(2.14)

Доведення

Математичне сподівання обчислюємо за формулою:

.

Для знаходження дисперсії спочатку знайдемо

.

Тоді

.

Ймовірність потрапляння випадкової величини в заданий інтервал дорівнює

. (2.15)

Показниковий закон відіграє важливу роль в теорії масового обслуговування та теорії надійності. Зокрема, інтервал часу між двома сусідніми подіями в елементарному потоці має показниковий розподіл з параметром – інтенсивністю потоку.

Приклад 2.5 Довести, що якщо проміжок часу , розподілений за показниковим законом, вже тривав деякий час , то це ніяк не впливає на закон розподілу проміжку .

Розв’язування

Нехай функція розподілу проміжку часу визначається за формулою (2.12), тобто . Функція розподілу частини, що залишилася ( ) за умови, що подія відбулась є умовна ймовірність події відносно події , тобто . Оскільки умовна ймовірність довільної події відносно події визначається за формулою , то приймаючи , отримаємо

.

Добуток подій та рівносильний події , ймовірність якої

.

Оскільки , то можна подати у вигляді:

.

Враховуючи рівність (2.12), отримуємо

.

Зауваження. Доведена властивість широко використовується в марковських випадкових процесах.

Приклад 2.6 Встановлено, що час ремонту телевізорів є випадкова величина , розподілена за показниковим законом. Визначити ймовірність того, що на ремонт телевізора знадобиться не менше 20 днів, якщо середній час ремонту телевізора становить 15 днів. Знайти щільність ймовірності, функцію розподілу та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.