3.3 Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки

З теорією статистичного оцінювання параметрів тісно пов’язана перевірка статистичних гіпотез. Вона використовується щоразу, коли потрібно обґрунтувати висновок про переваги того чи іншого способу інвестування, вимірювання, стрільби, технологічного процесу, стосовно ефективності нового навчального метода, управління, про значимість математичної моделі тощо.

Статистичною гіпотезою (statistical hypothesis) називають довільне припущення про вигляд чи параметри закону розподілу. Розрізняють просту та складену статистичні гіпотези. Проста гіпотеза повністю визначає теоретичну функцію розподілу випадкової величини. Ту гіпотезу, що перевіряють називають нуль-гіпотезою (zero-hypothesis) (або основною гіпотезою) та позначають . Одночасно з нуль-гіпотезою розглядають альтернативну (alternative hypothesis), або конкуруючу, гіпотезу , яка є логічним запереченням гіпотези .

Суть перевірки статистичної гіпотези полягає в тому, що використовується спеціально складена вибіркова характеристика (статистика) , отримана за вибіркою , точний чи наближений розподіл якої відомий. Потім за цим вибірковим розподілом визначають критичне значення . Якщо ймовірність мала, то гіпотеза є вірною. Правило, за яким гіпотеза приймається чи відкидається називається статистичним критерієм чи статистичним тестом.

Таким чином, множина можливих значень статистики критерію розбивають на дві підмножини, які не перетинаються: критичну область (область відхилення гіпотези) та область допустимих значень (область прийняття гіпотези) . Якщо спостережуване значення статистики потрапляє в критичну область , то гіпотезу відкидають. При цьому можливі чотири випадки (табл. 3.10).

Таблиця 3.10

Гіпотеза	Приймається	Відкидається
Правильна	Правильне рішення	Помилка 1-го роду
Неправильна	Помилка 2-го роду	Правильне рішення

Ймовірність допустити помилку 1-го роду, тобто відкинути гіпотезу , коли вона правильна, називається рівнем значимості чи розміром критерію.

Ймовірність допустити помилку 2-го роду, тобто прийняти хибну гіпотезу, зазвичай позначають .

Ймовірність не допустити помилку 2-го роду, тобто відхилити гіпотезу , коли вона хибна, називають потужністю критерію.

Користуючись термінологією статистичного контролю якості продукції можна сказати, що ймовірність – «ризик постачальника», пов’язаний із забракуванням усієї партії за результатами вибіркового контролю, а ймовірність – «ризик споживача», пов’язаний з прийняттям за аналізом партії, що не задовольняє стандарту.

Застосовуючи юридичну термінологію, - ймовірність винесення судом обвинувачувального вироку, коли насправді підсудний невинний, – ймовірність винесення судом виправдувального вироку, у випадку реального скоєння злочину підсудним. В прикладних дослідженнях помилка першого роду означає ймовірність того, що сигнал не буде прийнято спостерігачем, а помилка другого роду – ймовірність того, що спостерігач прийме хибний сигнал.

Слід відмітити, що при практичних обрахунках зазвичай обирають таку критичну область, при якій потужність критерію є максимальною, а ймовірність потрапляння в неї статистики критерію була мінімальною та рівною , у випадку справедливості нуль-гіпотези, та максимальною в протилежному випадку.

Іншими словами, критична область повинна бути такою, щоб при заданому рівні значимості потужність критерію була максимальною.

Серед усіх критеріїв заданого рівня значимості , що перевіряють гіпотезу критерій відношення правдоподібності є найбільш потужним (за Неймоном-Пірсоном). Основу методу максимальної правдоподібності складає функція правдоподібності, яка є щільність ймовірності одночасної появи результатів вибірки :

,

або

. (3.33)

Згідно цього методу в якості оцінки параметра приймається таке значення , яке максимізує функцію .

Приклад 3.11 Випадкова величина має нормальний закон розподілу , де не відоме, а дисперсія – відома. Побудувати найбільш потужний критерій перевірки гіпотези : на противагу альтернативній гіпотезі : . Знайти: а) потужність критерію; б) мінімальний обсяг вибірки, що забезпечить задані рівень значимості та потужність критерію .