Розв’язування

а)

б) Графіки функцій та зображено на рис. 1.15а та 1.15б.

Р исунок 1.15

в) Випадкова величина – неперервна, оскільки неперервна її функція розподілу , а її похідна – щільність ймовірності - неперервна в усіх точках окрім однієї .

г) як ймовірність окремо взятого значення неперервної випадкової величини.

можна знайти або за означенням функції розподілу (1.17), або через щільність ймовірності за формулою (1.21):

(ордината графіка – див. рис. 1.15б) або

(площа під кривою розподілу на відрізку [0, 1] – див. рис. 1.15а).

можна знайти або як приріст функції розподілу, або за формулою (1.21) через щільність ймовірності :

(приріст ординати графіка на відрізку – див. рис. 1.15б) – або

(площа під кривою розподілу на відрізку – див. рис. 1.15а)

д) За формулою (1.24) маємо:

.

Якщо подати розподіл випадкової величини у вигляді одиничної маси, розподіленої по трикутнику (рис. 1.15а), то значення математичного сподівання означає абсцису центра мас трикутника.

Дисперсію знайдемо за формулою . Маємо:

,

.

Щільність ймовірності найбільша при (рис. 1.15а), отже .

Медіану знайдемо з умови , тобто , звідки . Або через щільність ймовірності

, тобто ,

звідки .

Приклад 1.21 Щільність розподілу випадкової величини Х задана виразом:

f(x)=

Знайти: а) коефіцієнт А, б) функцію розподілу F(x), в) математичне сподівання та дисперсію випадкової величини, г) ймовірність P(0<x< ). Побудувати графіки f(x) і F(x).

Розв’язування

а) Коефіцієнт А знайдемо з умови , маємо:

, звідки

, , .

б) За формулою (1.22) знайдемо .

Якщо , то .

Якщо .

Якщо , то .

Таким чином,

.

Зобразимо графіки щільності розподілу випадкової величини Х (рис. 1.16а) та функції розподілу ймовірностей (рис. 1.16б).

Р исунок 1.16

в) За формулами (1.24) та (1.25) обчислимо математичне сподівання та дисперсію. Маємо:

;

;

.

г) Ймовірність P(0<x< ) знайдемо за формулою (1.21)

.

Питання для самоперевірки

1. Яку величину називають випадковою?

2. Яку випадкову величину називають дискретною, а яку – неперервною?

3. Що називають законом розподілу випадкової величини?

4. Дайте означення ряду розподілу. Охарактеризуйте полігон розподілу.

5. Вкажіть найбільш уживані операції над випадковими величинами.

6. Що називають математичним сподіванням дискретної випадкової величини? Сформулюйте властивості математичного сподівання, будь-які дві доведіть. Вкажіть математичний зміст математичного сподівання.

7. Що називають дисперсією та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини? Сформулюйте основні властивості дисперсії, будь-які дві доведіть. Вкажіть механічний зміст дисперсії.

8. Дайте означення функції розподілу. Вкажіть загальний вид цієї функції для дискретної випадкової величини. Сформулюйте властивості функції розподілу.

9. Доведіть, що ймовірність будь-якого окремо взятого значення неперервної випадкової величини дорівнює нулю.

10. Дайте означення щільності ймовірності. Що називають кривою розподілу випадкової величини? Чи існує щільність ймовірностей для дискретної випадкової величини?

11. Запишіть формули для обчислення математичного сподівання та дисперсії неперервної випадкової величини.

12. Дайте означення моді, медіані та квантилю рівня випадкової величини.

13. Дайте означення початковому та центральному моментам -го порядку. Запишіть формули для обчислення цих моментів у випадку дискретної та неперервної випадкових величин.

14. Що називають коефіцієнтом асиметрії та ексцесом випадкової величини?