3.3. Статистические свойства оценок параметров млр

3.3.1. Условия анализа

По аналогии с моделью парной регрессии при статистическом анализе ошибок моделирования будем полагать, что априори выполняются следующие условия:

• в спецификации модели (3.2) факторы Х – известные величины, а показатель Y и ошибки  – случайные величины.

Вектор параметров  необходимо определить, минимизируя ошибки моделирования, принимая при этом во внимание:

1. статистические свойства ошибок:

M[_i] = 0; D[_i] = M[_i²] = ² = const (гомоскедастичность);

2. некоррелированность ошибок:

М[_i_k] = 0 (i  k);

3. добавочное условие (не является обязательным): _i  N(0, ²) (нормальность ошибок и, соответственно, модели).

3.3.2. Среднеквадратичные ошибки оценок параметров млр

Покажем сначала, что оценка параметров В является несмещенной. Действительно, согласно (3.2) и условия 2 (М[] = 0)

M[Y] = M[X + ] = X.

Тогда математическое ожидание оценки (3.9)

.

По определению это означает несмещенность оценки МНК параметров модели.

Определим далее дисперсию оценки В. Обозначим детерминированный множитель этой оценки Х (ХХ)^-1= А, тогда с учетом D[Y] = D[] = ²

(3.18)

Это равенство определяет матрицу корреляционных моментов размерности [k  k]. Действительно,

В частности, для двухмерной модели (k = 2)

Отсюда

Как видим, дисперсии (диагональные элементы матрицы (3.18)) совпадают с выражениями (2.30), (2.34). Кроме того, параметры a и b модели имеют отрицательную взаимную корреляцию K_ab (недиагональные элементы матрицы (3.18)). Это легко объяснимо, так как с ростом коэффициента регрессии (или угла наклона прямой) постоянная составляющая а уменьшается (см. рис.2.3, б).

Без вывода приведем выражение для оценки дисперсии ошибок k-мерной МЛР

(3.19)

Эта оценка используется вместо истинного значения ² при определении оценок дисперсий параметров МЛР (информация о ² содержится в генеральной совокупности). При k = 2 она совпадает с (2.35).

На практике вместо (3.18) рассчитывается оценочное значение корреляционной матрицы

(3.20)

с подстановкой (3.19) взамен ².

Для k-мерной модели СКО оценок параметров В определяются как корни квадратные из диагональных элементов матрицы (3.20).

Если МЛР – нормальная и, следовательно, е_i/  N(0, 1) – независимые стандартные нормальные случайные величины, то нормированное значение s² имеет ²-распределение с (n – k) степенями свободы

. (3.21)

Математическое ожидание и дисперсия этой нормированной величины одинаковы и равны 1 (см. п.2.5.1 – распределение Пирсона).

3.3.3. Ошибки прогнозирования

В отличие от двухмерной модели прогнозируемое значение фактора в многомерной модели является k-мерным вектором Х_р = (1, х_2р, х_3р,…, х_кр) с (k – 1) задаваемыми значениями различных факторов.

С учетом случайных ошибок прогнозируемое значение показателя рассматривается как случайная величина

y_p = BX_p + ε_p, (3.22)

где штрихом обозначен вектор-столбец, причем входящие в правую часть (3.21) случайные величины некоррелированны. Прогнозируемое среднее значение показателя в точке прогноза определяется моделью

. (3.23)

Для оценки точности прогноза определим дисперсию показателя (3.22) как сумму дисперсий (это справедливо для некоррелированных величин BX_p и ε_p)

Подставляя сюда значение (3.18) дисперсии параметров модели (матрицу моментов корреляции), получим

Как обычно, вместо неизвестной дисперсии ² для расчетов используется её оценка (3.19), при этом с учетом (3.20) получим оценку дисперсии прогноза показателя

(3.24)

Корень квадратный из этой дисперсии определяет СКО прогноза. Интервальную ошибку прогноза для нормальной модели можно найти с учетом граничной ошибки

(3.25)

с параметром t = 1 при доверительной вероятности  = 0,68, t = 2 при  = 0,954 и t = 3 при  = 0,997. Доверительный интервал [y_p – _yp, y_p + _yp] определяет область возможных (с вероятностью ) значений прогноза показателя.

Задача определения ошибок оценок параметров модели (корреляционная матрица (3.20)) и прогноза (формула (3.24)) оказывается более трудоемкой, чем построение модели (определение параметров В). Например, для построения 3-мерной модели параметры, выраженные через отклонения, определяются матрицей [22], тогда как для определения ошибок с помощью (3.20), (3.24) приходится обращать матрицу [33].

Пример 3.2. Для данных примера 3.1 и построенной в нем модели определим корреляционную матрицу оценок параметров (3.20) и доверительный интервал прогноза зарплаты работника предприятия с уровнем доходов 10 баллов и 4-м тарифным разрядом (х_2р = 10, х_3р= 4) с доверительной вероятностью 0,68.

Точка прогноза, таким образом, определяется вектором

Х_р = (1, 10, 4).

Среднее значение прогноза показателя определяем согласно (3.23), используя найденные в примере 3.1 параметры

.

Обратная матрица произведения ХХ определена в примере 3.1 и равна

.

Правый сомножитель в (3.24) равен

1+ [1 10 4] =1+ [1,894 0,366 –0,785] =

= 3,414.

Второй (левый) сомножитель в (3.24) определим с помощью расчетов в примере 3.2

Тогда согласно (3.24) и (3.25)

В итоге доверительный интервал прогноза зарплаты работника с 4-м тарифным разрядом предприятия с уровнем доходов 10 баллов с доверительной вероятностью 0,68 лежит в пределах

y_p [3,804 – 2,255, 3,804 + 2,255] = [1,549, 6,059] у.е.

Как видим, граничная ошибка прогноза довольно велика (Δ_ур/ y_p^* = 0,6), что объясняется малым объемом выборки и, следовательно, недостаточной статистикой.

Корреляционная матрица оценок параметров (3.20) (точнее, её оценочное значение) равна

Оценим ошибки в определении коэффициентов регрессии b₂ и b₃. Дисперсии их оценок определяются диагональными элементами матрицы , а среднеквадратичные ошибки

Оценки этих параметров найдены в примере 3.1 и равны b₂ = – 0,152, b₃ = 1,587. Как видим, относительные значения СКО оценок параметров весьма велики и составляют соответственно 204% и 45%. Одной из очевидных причин этого является малая выборка (n = 5). Доверительные интервалы значений параметров можно определить после нахождения граничной ошибки (3.25) при заданной доверительной вероятности.