Геометрическое представление тождества и различия

1. Ограничения классической геометрии

Термином "классические" мы обозначаем все геометрии, евклидовы и неевклидовы, метрические и неметрические, в которых предполагается, что представляемые сущности тождественны сами себе. Несмотря на все развитие аффинных и неевклидовых систем, классическая геотермия остается связанной с ее первоначальной целью "измерения земли", при которой не возникает вопроса, может ли сущность быть как "той же самой", так и "другой". Если мы строим нашу онтологию свободной от ограничений одномерного существования, нам требуется геометрия, позволяющая нам представлять ситуации, в которых каждая сущность может быть "одновременно более чем одной".

Поскольку добавление нуль-вектора к конечному вектору оставляет последний неизменным и, при этом его проекции оказываются различными, мы можем увидеть в псевдоевклидовой геометрии необходимые свойства. Тем не менее, геометрия Главы 15 нуждается в обобщении.

Для того чтобы получить геометрию, полностью подходящую для представления физических событий, нам потребуется ввести некоторые дополнительные свойства, которые позволяют различать взаимодействия, описываемые в терминах связывания и взаимообмена. В этом приложении мы дадим основные принципы геометрии n-мерного псевдоевклидова многообразия и покажем, что она обладает требуемыми свойствами.

2. Косопараллельные прямые

Свойство косопараллельных в псевдоевклидовом многообразии легко распространяется на построение косопараллельных фигур. Рассмотрим в качестве простого примера два действительных (x, y) и одно мнимое (-iz) измерения, где i обозначает √-1, и пусть ОАСВ является единичным квадратом, лежащим в плоскости xy.

Переместим точку С в точку D и потребуем, чтобы отрезок АD был косопараллелен отрезку ОВ, а ВD косопараллелен ОА. Тогда АD имеем направление ( φ, 1, iφ), где φ – вещественный параметр, а ВD имеем направление (1, φ, iφ). Легко видеть, что D имеет координаты (1/(1- φ), 1/(1 – φ), i φ/(1 – φ)), и отрезки АD, ВD имеют длину 1/(1- φ) каждый. Но АС параллелен ОВ в евклидовом смысле и, следовательно, косопараллелен АD; точно также ВС косопараллелен ВD. Таким образом, можно сказать, что фигура ОАDВ как та же самая, что и фигура ОАСВ, так и отлична от нее. Различие проявляется при проекции ОАDВ параллельно оси Z в плоскость xy, когда D в проекции дает (1/(1- φ), 1/(1 – φ), 0), в то время как С проектируется в (1, 1, 0). Таким образом ОАDВ совпадает с ОАСВ в трех измерениях, но проекции этих фигур в два измерения различны.

Угол DАС является нуль-углом, так что D не отделено реально от С. Мы можем назвать ОАDВ "косым квадратом". Переходя к большей общности, мы можем рассмотреть построение косого куба в псевдоевклидовом многообразии, имеющего k действительных и j мнимых измерений, где k + J = n. В n измерениях куб имеет 2n вершин и n2^{n – 1} ребер, они образуют n множеств, каждое множество содержит 2^{n – 1} ребер, ребра каждого множества взаимно параллельны.