Единая теория поля

1. Упрощенный математический аппарат

Вывод уравнений поля для центрально направленных сил в пятимерном многообразии дан в другой работе. Упрощенный анализ можно получить, рассматривая пространство, время и вечность, каждое как одно измерение. Это эквивалентно рассмотрению только мгновенного направления силы в пространстве. Это позволяет нам использовать в качестве ссылочной системы координат трехмерное многообразие с одной мнимой осью ¹Q (пространство-подобной) и двумя действительными (время и вечностно-подобной) осями ²Q и ³Q. Они выбираются взаимноортогональными в псевдоевклидовом многообразии. Считая мнимой осью d¹q, мы задаем интервал посредством выражения:

Ds² = (d¹q)² + (d²q)² +(d³q)² (1)

где d¹q, d²q, d³q являются перемещениями вдоль осей ¹Q, ²Q , ³Q соответственно. Наблюдения, необходимые для измерения таких интервалов, могут быть сделаны, вообще говоря, только универсальным наблюдателем Q , который не ограничен отдельной областью вечности. Чтобы связать интервалы с наблюдениями (нечувствительного к вечности) наблюдателя О, мы рассмотрим измерительную систему О – М – R, интегральной частью которой является физический организм О. Она, как будет сказано дальше, обладает "квази-жесткостью" в смысле, определенном ниже (и как обсуждалось в Главе 14). Здесь "квази-жесткость" не означает несовершенной жесткости в смысле деформируемости под влиянием наблюдаемых пространственно-временных сил. Это означает, что для наблюдателя Q система О – М – R не сохраняет с необходимостью своей пространственной конфигурации, если она перемещается в многообразии. Для любого измерения, которое может сделать О, эта система является совершенно жесткой, но эти измерения ограничены и локальны и не могут, следовательно, согласоваться с измерениями Q . Это расхождение выражается посредством следующего набора условий.

Пусть U₁, U₂ будут направлениями пространственных и временных измерений О, и U₃ будет направлением его мгновенного существования, т.е. его "собственной вечностью". Интервалы, которые для О являются чисто время-подобными можно выразить как ∆х², интервалы пространство-подобные как ∆х¹, и интервалы вечностно-подобные как ∆х³. Измерительная система О – М – R является набором миниатюрной вселенной в истинной вселенной О. Эти направления не могут, следовательно, слишком отличаться от универсальных направлений ¹Q, ²Q , ³Q .

Следовательно, мы имеем:

1.

U _{1 } ¹Q

U_{2 } ²Q (2)

U_{3 } ³Q

где символ  означает совпадение с точностью до бесконечно-малых первого порядка.

2. Пространство-время О ограничено до единственного уровня в вечности. Это выражается требованием, чтобы U₁ было ортогонально проекции U₂ в ³q = 0.

3. Поскольку О несовершен, а Q совершен, не может быть тождественности между направлением, заданным ортогональю к U₁U₂ и универсальным направлением вечности ³Q. С другой стороны, не может быть расхождения, ведущего к различным ситуациям на разных уровнях в вечности. Это возможно, только если составляет нуль угол с ³Q.

4. Необходимо допустить внутреннюю совместимость системы О – М – R, которая должна быть отлична от совместности Q. Этот эффект может возникнуть только внутри системы самого О. Соответственно U₃ и ³Q, вообще говоря, не будут совпадать. Однако и здесь также не может быть постоянного расхождения. Следовательно, мы должны иметь еще одно условие, заключающееся в том, что U₃ составляет нуль-угол с ³Q.

Выражение "нуль-угол" характеризует отношение между двумя векторами, имеющими одинаковые или различные составляющие, но такие, что косинус угла между ними, определенный обычным образом, равен единице. Таким образом, если единичный вектор (if, f, 1) определяет направление в многообразии Q, то составляет нуль-угол с ³Q. Тогда косо параллельна ³Q. Четыре условия квазижесткости ведут к простому выражению для единичных векторов, определяющих направления U_j и (j = 1,2,3), а именно:

U₁ = (a, ib, -if)

U₂ = (ib, d, -f) (3)

U₃ = (ie, e, 1)

= (if, f, 1)

где

a ² = 1 + b² + f²

d² = 1+ b² - f² (4)

величины b, e, f все действительны и малы.

Эффект присутствия материальных объектов (вообще говоря, массивных заряженных тел) заключается в разрушении изотропии и однородности многообразия Q. Это выражается в изменении b, e, и f вместе с ^kq, где k = 1,2,3.

Можно показать, что условия интегрируемости, когда b, e, и f можно рассматривать как функции от х¹, х², вместе с характеристикой измерительной (квазижесткой) системы О приводят к закону обратной пропорциональности квадрату силы. Для целей настоящей работы можно предположить, что b, e, и f изменяются вместе с х¹, х² - т.е. они могут быть определены для каждого данного момента пространства и времени посредством измерений, которые локально выполняет О.