6.15.5. Пучки косо-параллельных

Семейство косо-параллельных трипотентно. Это можно увидеть из равенства (15.4), где V – направляющий вектор, Ø – расхождение и U – нуль-вектор определены независимо друг от друга.

Ясно, что W может представлять любую трипотентную сущность и может также служить для представления любого трехчленного отношения. Чтобы сделать символизм определенным, мы ограничимся использованием косо-параллельных для представления отношений. Существует три независимых пути ограничения семейства W. Мы можем определить:

(а) направляющий вектор V,

(б) нуль-вектор U, и

(в) скалярный множитель Ø.

Из этого возникают, прежде всего, два основных типа пучков, в соответствии с тем, является ли вектор V свободным или фиксированным. Если V не является единственным, тогда пучок называется транзитивным; если он единственный, семейство будет называться нетранзитивным.

В последующем часто удобно считать все U фиксированными, вводя их достаточно много, чтобы иметь возможность выражать все множество их при помощи переменного расхождения Ø. Таким образом, мы имеем транзитивные семейства косо-параллельных, задаваемые равенством:

W = V +  Øp Up (15.6)

Здесь нуль-векторы Up взаимно-ортогональны и каждый из них ортогонален направляющему вектору V. В этом равенстве расхождения Øp являются действительными ненулевыми параметрами. Степеней свободы m, и можно показать, что оно не больше j, если k  j, или j – 1 если k = j. Каждый член семейства является косо-параллельным любому другому члену. В качестве направляющего вектора V может быть выбран любой член семейства, и, следовательно, V не является единственным.

В нетранзитивном семействе каждый вектор W косо-параллелен V, но, вообще говоря, не другим векторам W. Можно показать, что число степеней свободы не превышает n –2, где n = j + k

1. Альфа-пучок

Мы будем использовать термин -пучок для обозначения системы косо-параллельных к направляющему вектору, удовлетворяющей условию, что существует один фиксированный нуль-вектор U, и расхождение Ø переменное. Единственную бесконечную область значений, которая может быть присвоена Ø, можно рассматривать как придающую -пучку одну степень свободы. Каждый член этого пучка косо-параллелен любому другому члену. Таким образом, -пучок является транзитивным семейством, имеющим одну степень свободы. Поскольку V фиксирован, пучок имеет свойство направленности.

Единственная степень свободы, получающаяся в результате изменения Ø, дает для W определений единственным образом ряд значений, -пучок не исключает, не выбирает и не зависит от выбора направляющего вектора V, поскольку любой из векторов может служить в качестве направляющего. Из этого следует, что -пучок обладает в точности теми свойствами, которые требуются для представления потенциальностей, для которых базисным отношением является простое "больше или меньше". Это рассмотрение приводит нас к отождествлению -пучка с детерминирующим условием вечности и к приписыванию последней одного измерения. Здесь, таким образом, нет отступления от интерпретации, принятой в пятимерной геометрии. Скаляр Ø служит для установления степени связанности между направляющим вектором и свойством, представленным W. Ø оказывается связанным с потенциальным различием, разделяющим два внутренних состояния целого, к которому он относится.