6.15.3. N-мерная геометрия

При построении схемы представления мы постулировали гомогенность всех гипономных отношений, необходимую для того, чтобы одна и та же схема могла представлять существование различных сущностей P, Q, R и т.д. Мы могли бы ожидать, что нам потребуются четыре многообразия отнесения, каждое с достаточным количеством независимых числовых множеств, для того чтобы иметь возможность выражать все необходимые величины при установлении различий между четырьмя типами отношений. Поскольку как внутренние, так и конъюнктивные отношения связаны с внутренней природой рассматриваемых сущностей, из них можно составить одно множество, тогда как все дизъюнктивные отношения, внешние для Р, составят второе независимое множество. Это дает основание предполагать, в качестве геометрического постулата, что для представления любых отношений всех сущностей вплоть до уровня квадрипотентного существования и включая его, вполне достаточно двух независимых многообразий. Принимая этот постулат, мы можем построить многообразие отнесения, разделяющееся на два независимых подмногообразия К и J, с k и j изменениями, где k + j = n.

Мы предполагаем, что n независимых числовых систем достаточны для представлений всех отношений времени, вечности и гипарксиса. К независимых чисел второго подмногообразия К представляют все отношения пространства. Вместе К и J должны быть адекватны для представления всех четырех типов отношений каждой гипономной сущности, существующей во вселенной.

Поскольку три детерминирующие условия времени, вечности и гипарксиса налагают определенные и характерные ограничения на существование, геометрия также должна учитывать определенные и характерные типы представления. Протекание актуализации должно быть отличимо от градиента потенциальной энергии, и оба они должны быть отделены от интенсивности существования. Каждое из них должно выражаться с помощью множества чисел; но этого недостаточно для построения набора независимых многообразий. В дополнение к этому нам необходимо определить допустимые преобразования, посредством которых величина одного рода может быть соотнесена с величиной другого рода. Нам надо также иметь возможность представлять переход хилэ от одной сущности к другой таким образом, чтобы это согласовывалось с фактами наблюдения. N может быть разделена на подмногообразия, и мы можем принимать вид разделений. Это уже известно по геометрии Минковского, где каждое независимое тело делит "абсолютный мир" на свои собственные пространственное и временное многообразия. В нашей универсальной геометрии мы будем искать четыре типа интервалов, соответствующих времени, вечности, гипарксису и пространству, но мы надеемся иметь возможность преобразовывать интервал одного типа в интервал другого типа как это делается в геометрии специальной теории относительности, рассматривая скорость света как множитель перехода.

6.15.4. Косо-параллельность

Имея дело с трипотентными существами, мы сталкиваемся с проблемой, которая не возникает относительно неизменного бытия, а именно, с проблемой согласования потенциального и актуального состояний посредством взаимодействия, в котором принимает участие природа того и другого. Для представления этого нам нужен специальный вид векторов, который должен каким-то образом иметь тот же самый вид, что и векторы, которые используются нами для представления массы и электрического заряда, и при этом должен быть независим от них. Как мы видели, индефинитная метрика допускает существование нуль-интервалов, нуль-векторов и нуль-углов. Мы, следовательно, можем применить тот же способ, рассматривая две части [N] как множества действительных и мнимых чисел соответственно. Метрика [N], таким образом, является псевдоевклидовой, и выражение для интервалов будет содержать k положительных и j отрицательных членов. Мы назовем K "действительным", а J – "мнимым".

В четырехмерной геометрии Минковского нуль-вектор, связывающий точку испускания светового луча А с точкой его поглощения В, выражает одно из фундаментальных данных о бипотентных сущностях, а именно – постоянство скорости света. Если время измеряется интервалом от А до В, то интервал исчезает, и мы имеем уже отмеченное "нулевое собственное время" света. Это означает, что хотя точки А и В отделяют конечный пространственный интервал, и момент испускания от момента поглощения отделен конечным временным интервалом, оба они в сочетании устанавливают взаимодействие, дающее нуль-вектор. Абсолют или локус нуль-векторов служит для связи пространство-подобных и время-подобных интервалов, поскольку он соединяет внутренние и внешние отношения двух сущностей, а именно – атома А и атома В. Абсолют или нуль-конус N-мерной геометрии, соответствующий некоторой трипотентной сущности, обеспечивает связь между внутренними, или время-подобными, и внешними, или пространство-подобными, отношениями Р со всеми остальными существующими целыми.

Для того чтобы различить четыре вида базисных отношений, мы можем использовать свойство нуль-векторов. Любой вектор может служить представлением переноса величины от одной точки к другой. Пространство-подобный вектор может представлять перемещение сущности Р из одного положения в другое, не подразумевающее движение и, следовательно, изменение времени. Точно так же время-подобный вектор может представлять факт, что некоторая существующая сущность переносит свою массу из одного момента времени t₁ в другой момент t₂ без перемены места. Смешанный вектор может представлять импульс, с которым определенная масса кажется движущейся относительно внешней системы отнесения. Обращая теперь наше внимание к нуль-векторам, мы можем видеть, что если вектор имеет неисчезающий компонент в пространстве – например, перемещение – то тогда он должен также иметь во время-подобном направлении неисчезающий компонент такой величины и направления, чтобы результирующий вектор находился внутри нуль-конуса. Учитывая это свойство, нуль-векторы можно использовать для представления связей и отношений отдельных элементов, которые должны составлять существование данного целого.

Предположим, что V – единичный вектор, который представляет одну из простых сущностей, входящих в составное целое Р, и что U – нуль-вектор, также связанный с Р. Нулевая величина проявляется в [N] и, следовательно, не зависит от выбора Р. С другой стороны, разложение U на неисчезающие компоненты можно сделать только по отношению к Р или другой существующей сущности. Если мы будем рассматривать мнимые величины как внутренние, а действительные величины как внешние, то мы можем считать, что V попадает либо внутрь, либо вовне нулевого конуса. Он не может лежать на конусе, иначе он должен быть нуль-вектором. Мы можем теперь выбрать U так, чтобы он был ортогонален к V. Это позволяет нам определить вектор W, где

W = V + ØU (15.4)

Он будет называться косо-параллельной к V, так как WV = 1.

Расхождение Ø является скаляром, и если его величина не нуль, то компоненты W и V по всем направлениям не тождественны. Если V – внутренний вектор, - то есть находится в области J нуль-конуса, то W также внутренний вектор.

Семейство косо-параллельных, получающееся, когда Ø принимает все возможные значения, будет называться пучком косо-параллельных к V. Приписывая Ø столько значений, сколько требуется для указания внутренних и внешних отношений, возможных для данного случая, мы получаем средство для представления при помощи одного символа как актуального, так и потенциального состояния Р. Нуль-вектор U может быть ассоциирован с некоторым определенным свойством, таким, что пучок косо-параллельных тогда будет средством для связи его через вектор V с компонентой Р.

Семейство косо-параллельных определено по отношению к его направляющему вектору V, но является неопределенным по отношению к ассоциированным нуль-векторам. Это свойство соответствует фундаментальному различию между актуальным и потенциальным состояниями хилэ. Таким образом, косо-параллельность, которая, на первый взгляд, кажется не более чем геометрическим курьезом, оказывается имеющей величайшее значение для представления физических событий. Поэтому мы попытаемся сформулировать в нематематических терминах характер отношений, которые существуют между векторами и их косо-параллелями.

Рассмотрим два события (А) и (В), разделенные в пространстве и во времени, но связанные фактом, что данное целое Р участвует в обоих. Такими событиями могут быть, например, момент, когда человек отправился в путешествие, и момент, когда он достиг места назначения. События связаны линией, которая является направлением времени человека Р. Если эта линия будет являться космодезической, тогда точки А и В будут определять время–подобный вектор конечной величины. Если путешествие продолжается ровно один год, мы можем назвать его единичным вектором на шкале лет. Предположим теперь, что во время путешествия человек отклоняется от намеченного пути, но наверстывает потерянное время, путешествуя быстрее, так что, в конце концов, он достигает места назначения в тот же самый момент, как если бы он следовал намеченным путем. Может существовать бесконечное число таких отклоняющихся маршрутов. И все они будут оставлять неизменными начальную и конечную точки, если только увеличение длины пути в пространстве сопровождается возрастанием скорости, точно рассчитанным, чтобы оставить неизменным общее время. Описанная выше ситуация может быть представлена вектором V, который является намеченным путем, и бесконечным числом векторов W, каждый из которых переносит человека в то же место назначения в один и тот же момент. Путь W отличается от V, поскольку имеются изменения, как в пространственном, так и во временном направлениях, но комбинированное действие обоих остается неизменным. Строго говоря, "собственное время" от А до В остается неизменным для каждого пути, поскольку

W·W = V·V = 1 (15.5)

Если W косо-параллельно V, то два вектора, отмеченные на космическом многообразии, не расходятся. Но если каждый проектируется в несодержащее их начало координат, то их компоненты не совпадают, и в любой точке эти компоненты имеют конечное расхождение. Этот эффект может казаться странным до тех пор, пока мы не поймем, что постоянно находимся под его влиянием в нашем визуальном восприятии. Когда мы осматриваемся вокруг, нам кажется, что весь мир движется одновременно с нами. Мы смотрим на звезды ночью, и нам кажется, что они существуют в это же самое время, хотя наше астрономическое знание учит нас, что время отдаленных звезд в действительности очень отличается от нашего собственного времени.

В приведенном выше примере должно существовать, по меньшей мере, одно измерение пространства и самое меньшее – два время–подобных измерения. Эта геометрия не слишком отличается от той, с которой работал Минковский в специальной теории относительности. Если N больше четырех, в то время как k и j каждое больше единицы, то могут существовать различные способы комбинации нуль-векторов с единичными векторами при образовании пучков косо-параллельных. Поэтому, изучая характер различий между одними и другими типами пучков, мы можем рассчитывать, что обнаружим средство независимого представления каждого из трех внутренних измерений.