30.5. Розв’язування рівняння Шредінгера для мікрочастинки, що міститься в нескінченно глибокій потенціальній ямі

Рис. 30.2

Застосуємо рівняння Шредінгера до частинки, що міститься в одномірній, нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною a (рис. 30.2). Усередині ями (0<x<a) потенціальна енергія частинки дорівнює нулю, а за межами ями (x<0 і x>a) — нескінченно велика. Очевидно, що частинка може переміщатися тільки усередині ями й не може вийти за її межі.

Стаціонарне рівняння Шредінгера для такого одномірного випадку запишеться так:

(30.16)

Позначивши

(30.17)

перепишемо рівняння (30.16) у вигляді

(30.18)

Для розв’язання лінійного диференціального рівняння другого порядку (30.18) складемо характеристичне рівняння:

,

яке має два корені: k₁=iq і k₂= –iq. Тоді загальне рішення (30.18) буде мати вигляд

(30.19)

де A і B — сталі інтегрування. Для визначення цих сталих використаємо граничні умови, згідно яким імовірність знаходження частинки на краях ями дорівнює нулю: ^*=0 (і, отже, =0) при x=0 або x=a. З першої умови випливає A+B=0, тобто A = –B. Тоді (30.19) перетворюється до вигляду

(30.20)

або з урахуванням формули Ейлера (див. математичне введення)

(30.21)

Використовуючи другу граничну умову, дістанемо

(30.22)

Таким чином, хвильова функція мікрочастинки може бути записана у вигляді

(30.23)

Значення сталої інтегрування А неважко одержати з умови нормування хвильової функції

звідки

Для знаходження енергії мікрочастинок визначимо з (30.2) значення q і підставимо його у вираз (30.17):

(30.24)

Як видно з (З0.24), енергія мікрочастинки в потенціальній ямі може приймати тільки рад дискретних значень W₁, W₂…, які називаються рівнями енергії. При цьому відстань між сусідніми рівнями енергії зростає в міру збільшення n:

Рис. 30.3

Рівні енергії (30.24), а також розподіл щільності ймовірності по координаті x показані на рис. 30.3. Видно, що для всіх рівнів енергії на стінках потенціальної ями ^*=0. Крім того, при даному n маємо n-1 проміжну точку, де ймовірність виявити мікрочастинку дорівнює нулю.

Важлива особливість у поводженні мікрочастинки усередині потенціальної ями полягає в тому, що її енергія не може рівнятися нулю.

Дійсно, при n=0 і =0 і тоді щільність імовірності знаходження мікрочастинки в межах потенціальної ями ^*=0, що неможливо. Отже, припущення про те, що мікрочастинка може мати нульову енергію, невірно, тому що приводить до парадоксального висновку про її зникнення.

У реальних умовах глибина потенціальної ями кінцева. Наприклад, електрон усередині металу може рухатися вільно, однак його виходу в навколишній простір перешкоджає потенціальний бар'єр, висота якого дорівнює роботі виходу електрона з металу. Розв’язуючи рівняння Шредінгера для цього випадку, дістанемо такі результати:

1) енергія мікрочастинки в такій ямі також буде квантованою, тобто може приймати не будь які, а лише строго визначені дискретні значення;

2) існує відмінна від нуля ймовірність того, що мікрочастинка з енергією, меншою, ніж висота потенціального бар'єра, який обмежує яму, вийде за її межі. За класичними уявленнями такий процес неможливий, оскільки він приводить до від’ємного значення кінетичної енергії мікрочастинки.