33.3. Метали

Рис. 33.5

На рис. 33.5, а схематично показане заповнення електронами зони провідності для лужного металу (літію) при T = 0. Видно, що в цьому випадку електрони заповнюють всі нижні підрівні енергії аж до деякого рівня W_F, який називають рівнем Фермі. При T > 0 частина електронів може переходити на більш високі рівні (рис. 33.5, б).

У частково заповненій зоні провідності металу електрони можуть переходити на більш високі рівні енергії не тільки за рахунок теплового руху, але й під впливом зовнішнього електричного поля, що приводить електрони в упорядкований рух. Ці переходи можливі, оскільки підрівні енергії в зоні розташовані дуже близько один до одного й не заповнені електронами. У зв'язку із цим метали є добрими провідниками.

Розглянемо тепер питання про теплоємність металів. Відповідно до класичної теорії атомна теплоємність металів повинна бути вища, ніж у діелектриків, оскільки вільні електрони, що перебувають у металі (електронний газ) повинні мати додаткову теплоємність. Однак експериментально показано, що атомна теплоємність металу дорівнює атомної теплоємності діелектриків. Для з'ясування причин такої розбіжності викладемо класичну й квантову теорії теплоємності електронного газу.

Відповідно до класичних уявлень середня кінетична енергія руху електронів має дорівнювати, тому внутрішня енергія електронів, що містяться в 1 кг-атомі металу,

,

де N_A — число Авогадро. Теплоємність електронного газу

,

у той час як експеримент показує, що C_ел=0

Рис. 33.6

Причина такої розбіжності полягає в тому, що в тепловий рух утягуються не всі електрони, а тільки та їхня частина, енергія яких відрізняється від енергії Фермі на величину ±kТ. Ці електрони заповнюють енергетичний інтервал шириною 2kТ: від W_F -kТ до W_F +kТ (рис. 33.6). Електрони, що заповнюють нижні підрівні енергії, не можуть збільшити свою енергію, оскільки більш високі підрівні енергії зайняті, а перехід туди ще одного електрона заборонений принципом Паулі. Такі електрони в тепловому русі не беруть участі.

Нехай N — число електронів, що перебувають в енергетичному інтервалі шириною 2kТ поблизу рівні Фермі, а N_A — загальне число вільних електронів в 1 кг-атомі металу (при T=0 ці електрони заповнюють енергетичний інтервал від 0 до W_F). Розв’язуючи пропорцію

N — 2k;

N_A — W_F,

знаходимо число електронів, що приймають участь у тепловому русі:

.

Внутрішню енергію цієї частини електронного газу знайдемо, помноживши N на середню енергію теплового руху електрона:

.

Тоді теплоємність електронного газу

.

(33.3)

Як показують розрахунки, енергія Фермі для металів W_F ~ 10 еВ. Цій енергії відповідає так звана температура Фермі T_F = W_F/k~10⁵ К.

Перетворимо (33.3) до вигляду

,

Тоді з урахуванням того, що T/T_F << 1 для будь-яких температур нижче температури плавлення металу, доходимо висновку, що в повній згоді з експериментом C_ел = 0.

На закінчення розглянемо сучасне квантово-механічне трактування залежності опору металу від температури. Як і в класичній теорії електропровідності, при квантово-механічному розгляді руху електронів у металі виявляється справедливим вираз (15.29) для питомого опору .

У рамках класичної теорії теплопровідності передбачалося, що й, отже, питомий опір , що суперечить експерименту, де спостерігається лінійна залежність опору металів від температури.

У квантовій теорії металів енергія електронів Оскільки , то енергія електронів і, отже, швидкість їх теплового руху практично не залежить від температури. Залежність же питомого опору металів від температури пояснюється зменшенням середньої довжини вільного пробігу електронів від температури ( ), що пов'язане з більш ефективним розсіюванням електронів на теплових коливаннях іонів кристалічної гратки при більш високих температурах.