29.6. Спектр атома водню за Бором

Знайдемо спочатку радіус n-ої стаціонарної орбіти електрона.

При русі електрона по колу радіуса r на нього діє доцентрова сила mv²/r, роль якої відіграє сила кулонівської взаємодії ядра та електрона

(29.26)

де e — заряд електрона.

Виключаючи з рівнянь (29.24) і (29.26) швидкість v, дістанемо радіус n-ої електронної орбіти

(29.27)

Знайдемо тепер повну енергію атома водню:

(29.28)

де W_k, W_p — відповідно кінетична та потенціальна енергія електрона.

Скориставшись співвідношенням (29.26), запишемо

(29.29)

Потенціальну енергію електрона знайдемо як добуток заряду електрона на потенціал електростатичного поля, створюваного ядром:

(29.30)

Тут знак «-» ураховує, що потенціальна енергія взаємодії електрона і ядра є енергією притягання.

Підставляючи (29.29) і (29.30) в (29.26), одержуємо повну енергію атома водню

(29.31)

І нарешті, підставимо в (29.31) значення радіуса орбіти з (29.27):

(29.32)

де n=1, 2, … ...

Видно, що енергія атома може приймати лише дискретні значення. Скориставшись другим постулатом Бора, знайдемо частоту фотона, який випускається при переході атома водню зі стаціонарного стану n з більшою енергією в стан m з меншою енергією:

(29.33)

де R — стала Рідберга;

Формула (29.33) збігається з узагальненою формулою Бальмера (29.23), установленої експериментально на підставі аналізу спектра випромінювання водню. У цьому спектрі різними авторами були виділені серії, у яких положення спектральних ліній у шкалі частот підлягає певним закономірностям. Як випливає з теорії Бору, кожна із серій виходить із формули (29.33) при певному фіксованому значенні числа т і значеннях n, рівних m+1, m+2, … :

серія Лаймана

серія Бальмера

серія Пашена

серія Брекета

серія Пфунда

Рис. 29.8

Схема переходів, що приводять до виникнення серій у спектрі випромінювання атома водню, показана на рис, 29.8. Зауважимо, що лінії серії Лаймана розташовані в ультрафіолетовій, серії Бальмера – у видимій, а лінії інших серій – в інфрачервоній частині спектра,

Пояснення лінійчатого спектра випромінювання й поглинання атома водню й інших воднеподібних атомів Не⁺, Li⁺⁺ тощо була блискучим успіхом теорії Бору. Однак згодом було виявлені принципові труднощі, які неможливо було подолати в рамках цієї теорії: теорія Бора внутрішньо суперечлива – вона не була ні послідовно класичною, ні послідовно квантовою теорією; вона залишала відкритим питання про інтенсивність спектральних ліній; спроби застосувати цю теорію до багатоелектронних атомів не увінчалися успіхом.

Проте, в історичному плані теорія Бору зіграла свою позитивну роль як проміжний етап на шляху до послідовної квантової теорії атомних явищ.