30.3. Хвильова функція і її статистичний зміст

У класичній механіці можна дати однозначну відповідь на питання, чи перебуває частинка в даний момент часу в певній області простору. Так, коли виділити деякий об'єм простору, що містить ділянку траєкторії частинки, то, знаючи рівняння її руху, можна з вірогідністю встановити, чи буде вона в певний момент часу перебувати в цьому об'ємі чи ні. Якщо ж траєкторія частинки не проходить через виділений об'єм простору, то можна стверджувати, що частинки там не може бути ні в який момент часу.

Таким чином, класичному описанню руху частинки відповідає формальна логіка із двома елементарними поняттями «так» і «ні». Закономірності класичної механіки й формальної логіки незастосовні для описання руху мікрочастинок, оскільки останні характеризуються хвильовими властивостями. При цьому слід урахувати також, що квантово-механічні закономірності, правильно описуючи явища мікросвіту, не мають того ж ступеня наочності, що й класичні закономірності.

Для описання хвильових властивостей мікрооб'єктів у квантовій механіці вводиться величина , яку називають хвильовою (або «псі») функцією. Руху мікрочастинок зіставляється рівняння деякої хвилі, яка у найпростішому випадку має вигляд

(30.8)

Формально рівняння (30.8) збігається із класичним рівнянням механічної (§22.2) або електромагнітної хвилі (§25.2). Однак фізичний зміст хвильової функції принципово відрізняється від класичного. У механічній хвилі хвильової функції  відповідає певна деформація пружного середовища (для даної точки простору в даний момент часу), а в електромагнітній хвилі – відповідні значення напруженостей електричного й магнітного полів.

У квантовій механіці хвильовій функції  надається такий фізичний зміст: квадрат модуля хвильової функції визначає ймовірність знаходження мікрочастинки в даній точці простору (точніше, в одиничному об'ємі поблизу від заданої точки простору):

(30.9)

Імовірність виявлення частинки в деякому об'ємі dV визначається очевидним співвідношенням

(30.10)

Зі змісту хвильової функції випливає, що квантова механіка має статистичний характер. Вона не дозволяє визначити місцезнаходження частинки в просторі або траєкторію, по якій рухається частинка. За допомогою хвильової функції можна лише передбачити, з якою ймовірністю частинка може бути виявлена в різних точках простору.

Хвильова функція (разом зі своїми похідними) повинна бути скінченною, однозначною і неперервною. Крім того, хвильова функція повинна задовольняти умові нормування:

(30.11)

Інтеграл (30.11) визначає ймовірність того, що мікрочастинка перебуває в якій-небудь точці простору, тобто ймовірність достовірної події, яка дорівнює одиниці.

30.4. Рівняння Шредінгера

Для того щоб знайти хвильову функцію , що характеризує стан мікрочастинки або системи мікрочастинок, необхідно розв’язати хвильове рівняння, що було отримано Э. Шредінгером в 1926 р. Рівняння Шредінгера – основа квантової (хвильової) механіки, так само як рівняння Ньютона – основні рівняння класичної механіки. Як і рівняння Ньютона, рівняння Шредінгера не може бути виведене з інших більш елементарних принципів і вводиться у квантову механіку як постулат. Справедливість рівняння Шредінгера визначається тим, що всі висновки, отримані з його рішень і доступні дослідній перевірці, підтверджувалися. Проте, дамо деяке методичне обґрунтування цього рівняння.

Продиференціюємо двічі за координатою x хвильову функцію (30.8):