30.6. Квантовий гармонічний осцилятор

Більш реалістична модель потенціальної ями -– гармонічний осцилятор, потенціальна енергія якого є параболічна функція координати (§21.6). Модель гармонічного осцилятора добре описує коливання атомів усередині молекули або в кристалі (див. §10.3, 28.2). Потенціальна енергія гармонічного осцилятора

Рис. 30.4

як функція координати x показана на рис. 30.4.

Рівняння Шредінгера для одномірного гармонічного осцилятора має вигляд

Опустивши громіздкі математичні перетворення, запишемо відразу кінцевий результат для енергії гармонічного осцилятора

(30.25)

тобто і в цьому випадку енергія мікрочастинки може приймати лише ряд квантованих, дискретних значень.

Мінімальне значення енергії гармонічного осцилятора

(30.26)

відмінно від нуля й називається енергією нульових коливань.

Якби мінімальна енергія гармонічного осцилятора рівнялася нулю, то імпульс мікрочастинки також рівнявся б нулю. Це можливо лише в тому випадку, коли частинка перебуває в положенні рівноваги, тобто її координата x=0. Однак висловлене припущення (W_o=0) суперечить співвідношенню невизначеностей Гейзенберга, оскільки при цьому допускається можливість одночасного точного визначення координати (x=0) і імпульсу мікрочастинки (p=0), що неможливо.

В класичній фізиці було показано (див. §8.2), що середнє значення енергії теплового руху частинки

(30.27)

Тоді при зменшенні температури (T→0) середнє значення енергії прямує до нуля, що суперечить квантовомеханічному результату (30.26). Це протиріччя знімається, якщо припустити, що класичний вираз для енергії теплового руху мікрочастинок поблизу абсолютного нуля порушується, тобто при зниженні температури енергія коливального руху мікрочастинок (атомів у кристалі) зменшується не до нуля (як це було б у випадку справедливості класичної формули при T→0), а наближається до деякого, відмінного від нуля значення W=ħω/2 ≠ 0. Цей висновок підтверджується експериментами по розсіюванню світла на коливаннях атомів кристала. При T→0 коливання атомів зберігаються, тому навіть поблизу абсолютного нуля інтенсивність розсіяного світла має ненульове значення.

30.7. Тунельний ефект

Рис. 30.5

Розглянемо одномірний випадок розподілу потенціальної енергії за координатою x, схематично зображений на рис. 30.5 (випадок потенціальної сходинки). В області I потенціальна енергія частинки дорівнює нулю і вона може вільно переміщатися з деякою сталою швидкістю та енергією. В області II потенціальна енергія частинки дорівнює W_p. У класичній механіці показано, що якщо кінетична енергія частинки більша висоти потенціального бар’єра (W_к>W_p), то частинка може переміститися з області I в область II і рухатися далі в тому же напрямку (але вже зі зменшеною швидкістю та енергією). Якщо ж W_к<W_p, то частинка не може проникнути в область II, а відіб'ється від бар'єра, змінивши напрямок свого руху на протилежний.

Розглянемо тепер квантовомеханічне трактування взаємодії мікрочастинки з потенціальним бар’єром, обмежуючись випадком W_к<W_p.

Запишемо рівняння Шредінгера для областей I і II:

область I:

область II:

Позначивши

запишемо й розв’яжемо відповідні характеристичні рівняння:

для області I:

для області II:

Загальні розв’язки рівнянь Шредінгера мають вигляд:

для області I:

(30.28)

для області II:

(30.29)

У рівнянні (30.28) перший доданок описує падаючу хвилю, пов'язану із частинкою, а другий – відбиту хвилю.

Розглянемо тепер рівняння (З0.29). Перший доданок у ньому не задовольняє умові скінченності, що накладається на хвильову функцію, тому що при x →∞ і _→∞. Щоб ця умова не порушувалася, необхідно покласти А₂= 0. Тоді хвильова функція (30.29) приймає вид

.

а ймовірність знайти мікрочастинку на деякій глибині потенціального бар’єра

(30.30)

У класичній фізиці ймовірність проникнення частинки усередину потенціального бар’єра W_к<W_p дорівнює нулю, оскільки в цьому випадку її кінетична енергія стає від’ємною. Однак у квантово-механічному трактуванні такий процес стає можливим.

Рис. 30.6

Розглянемо тепер одномірний випадок розподілу потенціальної енергії, показаний на рис. 30.6. Ділянка II, у межах якої величина потенціальної анергії більша, ніж в областях I і III, що оточують її, називається потенціальним бар'єром. Нехай ліворуч до потенціального бар'єра підлітає мікрочастинка з енергією W_к<W_p. Відповідно до викладеного ця мікрочастинка може проникнути в глиб потенціального бар'єра й виявитися на його правій границі з імовірністю

(30.31)

де d — ширина бар'єра.

Виявившись на правому краї бар'єра, частинка стає вільною і може рухатися далі в попередньому напрямку з тією же швидкістю й енергією, які вона мала, підлітаючи до бар'єра.

Явище проходження мікрочастинки через потенціальний бар'єр у випадку, якщо її енергія менша за висоту бар'єра, називають тунельним ефектом.

Згідно (30.31) прозорість бар'єра D ,тобто ймовірність проходження мікрочастинки через потенціальний бар'єр, визначається виразом

(30.32)

Вираз (30.32) справеджується для потенціального бар'єра найпростішої прямокутної форми, а для бар'єра довільної форми (рис. 30.7) прозорість визначається формулою

(30.33)

Рис. 30.7

З формул (30.32) і (30.33) видно, що ймовірність проходження мікрочастинки через потенціальний бар'єр збільшується в міру зменшення ширини бар'єра та зростання енергії частинки.

Розглянемо приклади деяких фізичних явищ, які описуються закономірностями тунельного ефекту.

1. Якщо два провідники розділені шаром діелектрика, то струм через такий контакт протікати не може, однак при малій товщині діелектричного прошарку (d≤10^-8 м) електрони можуть переходити крізь шар діелектрика, створюючи тунельний контакт. Найцікавіший той випадок, коли обидва метали перебувають у надпровідному стані (див. §34.2).

2. На границі між напівпровідниками з електронним і дірковим типами провідності утворюється контактна різниця потенціалів, що створює потенціальний бар'єр для переходу електронів. За певних умов формування контакту стають можливими тунельні переходи електронів через нього (тунельний діод – див. §33.7).

3. На основі тунельного ефекту створений електронний мікроскоп принципово нового типу. У цьому мікроскопі надтонке металеве вістря наближається до досліджуваної поверхні на малу відстань і фіксується тунельний електричний струм, що протікає через розрядний проміжок. При переміщенні вістря дрібні нерівності на досліджуваній поверхні змінюють ширину потенціального бар'єра й, отже, значення сили струму в колі. Прилад настільки чутливий, що дозволяє фіксувати окремі атоми.