33.2. Діелектрики

У діелектриків валентна зона повністю заповнена електронами і відділена від зони провідності заборонною зоною, ширина якої W > kT. У зоні провідності електронів немає, оскільки енергії теплового руху недостатньо для переведення їх з валентної зони в зону провідності. При накладенні зовнішнього електричного поля електрони, що перебувають у валентній зоні, не можуть прийти в спрямований рух, оскільки при цьому їх енергія повинна зрости й, отже, повинні здійснюватися переходи на більш високі підрівні. Однак всі підрівні енергії у валентній зоні зайняті електронами, тому в силу принципу Паулі такі переходи заборонені.

Єдина можливість для виникнення струму провідності в діелектрику – це перехід електрона в зону провідності. Однак, якщо ширина заборонної зони W >> kТ, то концентрація електронів у зоні провідності така мала, що нею можна знехтувати. Тому діелектрики практично не проводять електричний струм.

Розглянемо тепер теплоємність кристала діелектрика. В §10.3 відзначалося, що при не занадто низьких температурах атомна теплоємність кристала дорівнює 3R (закон Дюлонга і Пті). Експерименти показують, що в області низьких температур закон Дюлонга і Пті порушується: при T→0 атомна теплоємність C→0. Причина такого відступу від закону Дюлонга і Пті полягає в тому, що класичний вираз для енергії коливального руху атома (, див. §10.3) при низьких температурах порушується й повинен бути замінений на більш загальний квантово-механічне вираз. Щоб одержати цей вираз, розглянемо більш докладно особливості коливань атомів кристала.

Кожний атом кристала може виконувати коливання із частотами , 2, 3, ..., які можна знайти з виразу (30.25). Завдяки пружним зв'язкам між атомами коливання якого-небудь атома не локалізовані, а поширюються в кристалі у вигляді пружних хвиль тієї ж частоти. Поширення таких пружних хвиль у кристалі можна описувати як рух деяких уявлюваних частинок (квазічастинок), які називаються фононами. Фонон як квазічастинка багато в чому проявляє подібні властивості з реальною частинкою фотоном. Фонони, як і фотони, мають дискретний набір енергій h, 2h, 3h, ..., однак, на відміну від фотона фонон може існувати, лише рухаючись усередині кристала.

Фонону, як і фотону, приписується цілочисловий спін, що дорівнює одиниці, тому ці частинки належать до бозонів і підлягають статистиці Бозе-Ейнштейна. Використовуючи цю статистику, можна показати, що середня енергія фонона, що доводиться на один ступінь свободи,

.

Враховуючи, що фонон має три ступені свободи, дістанемо, що внутрішня енергія одного кілограм-атома кристала дорівнює добутку числа Авогадро N_A на :

.

(33.1)

Розглянемо поводження внутрішньої енергії U і атомної теплоємності C_V в області високих і низьких температур.

Область високих температур: h<<kТ. Тоді

,

тому вираз для внутрішньої енергії (33.1) приймає вигляд

.

Звідси атомна теплоємність

,

тобто у цій області температур справедливий закон Дюлонга й Пті.

Область низьких температур: h>>kТ. Тоді

,

,

звідси атомна теплоємність

.

(33.2)

Рис. 33.4

Оскільки показникова функція e^-h/k при зміні аргументу змінюється істотно швидше, ніж степенева (T^-2), неважко показати, що при T → 0, C_V → 0.

Графік залежності C_V від T показано на рис. 33.4. В області низьких температур отримана нами залежність C_V(T) — формула (33.2) — лише якісно погодиться з експериментом. Більш струга теорія, що враховує взаємодію фононів, була розроблена Дебаєм.