30.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

У класичній механіці стан руху частинки в будь-який момент часу можна визначити, задавши значення її координат і імпульсу. Ці значення знаходять, розв’язавши відповідні рівняння руху, заснованих на законах Ньютона. У випадку ж описання хвильових процесів у класичній механіці застосовується інша схема уявлень, заснована на поняттях механіки суцільних середовищ. При цьому характеристики, що описують механічний рух і хвильові процеси несумісні між собою.

Як було зазначено, мікрочастинки одночасно мають як хвильові, так і корпускулярні властивості, тому їх рух не може бути описаний в рамках чисто корпускулярних або чисто хвильових уявлень. Однак, якщо ми спробуємо (хоча б приблизно) описати рух мікрочастинки як корпускули (тобто по певній траєкторії), та наявність у неї хвильових властивостей повинно привести при такому описанні до появи деяких обмежень. Такі обмеження були встановлені в 1927 р. В. Гейзенбергом і звуться співвідношеннями невизначеності.

Рис. 30.1

Для знаходження цих співвідношень розглянемо уявний дослід по одночасному визначенню координати й імпульсу мікрочастинки (наприклад, електрона) — рис. 30.1. Нехай мікрочастинка рухається в додатному напрямку осі x і має імпульс p=p_x. Для того щоб визначити координату мікрочастинки по осі y, поставимо на її шляху екран з вузькою прямою щілиною шириною а. Якщо частинка пройде через щілину, то її координата y буде визначена з точністю до ширини щілини, тобто Δy=a. Однак після проходження щілини мікрочастинка внаслідок хвильових властивостей дифрагує і відхиляється від свого початкового напрямку руху нагору або вниз, тобто одержує невизначений за величиною додатковий імпульс Δp_y. При пропущенні через щілину значного числа частинок на екрані виникає дифракційна картина максимумів і мінімумів, що чергуються, центральна частина якої схематично показана на рис. 30.1, Обмежимося надалі розглядом центральної, найбільш інтенсивної частини дифракційної картини, що міститься між першими дифракційними мінімумами, які відповідають відхиленню мікрочастинок на кут  від початкового напрямку.

З корпускулярної точки зору відхилення мікрочастинки від початкового напрямку на кут  можна пояснити тим, що при проходженні щілини вона одержує додатковий імпульс

(30.2)

Із хвильової точки зору дифракція електронів пояснюється так само, як і дифракція світла. Напрямок на перший дифракційний мінімум можна знайти з умови (§26.3)

(30.3)

З корпускулярно-хвильової точки зору співвідношення (30.2) і (30.3) повинні розглядатися спільно. Для цього виключимо з них формул кут  і підставимо значення  з формули де Бройля, що враховує наявність як хвильових, так і корпускулярних властивостей у мікрочастинок. Маємо

(30.4)

Зміст цього співвідношення полягає в тому, що неможливо одночасно як завгодно точно визначити координату й імпульс мікрочастинки.

Спрямовуючи Δy до нуля, ми втрачаємо будь яке уявлення про значення імпульсу мікрочастинки, оскільки розкид його можливих значень Δp_y=h/Δy→∞. І навпаки, якщо ми спробуємо точно виміряти імпульс мікрочастинки (Δp_y→0), то її положення в просторі стає зовсім невизначеним, оскільки Δy=h/Δp_y→∞.

При виведенні співвідношення невизначеності (30.4) був врахований тільки центральний дифракційний максимум. З урахуванням максимумів більш високого порядку можна записати:

(30.5)

Аналогічні співвідношення можна одержати й для інших просторових координат і проекцій імпульсу:

	(30.6)

Співвідношення невизначеностей не пов'язані з недосконалістю методів вимірювання або вимірювальних приладів. Ці співвідношення отримані при спробі описання руху мікрочастинки за допомогою класичних характеристик (координати й імпульсу), у той час як мікрочастинка має також хвильові властивості. Оскільки в класичній фізиці приймається, що вимірювання координати й імпульсу частинки може бути проведене з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностей указує границі застосування класичного способу описання руху мікрооб'єктів.

Якщо представити невизначеність імпульсу як ∆p_x=m∆v_x , то

Звідси випливає, що для макроскопічних об'єктів з великими масами добуток ∆x∆v_x дуже малий, близький до нуля. Це означає, що при описанні руху макротіл у класичній фізиці можна користуватися поняттям траєкторії, оскільки положення макрооб'єкта і його швидкість можна визначити з дуже високою точністю. Наприклад, при локації Місяця за допомогою лазерних імпульсів відстань до її поверхні було визначено з точністю до ∆x ~1 м. Це дуже висока точність, якщо врахувати, що відстань до Місяця R ~ 10⁸ м. Невизначеність у вимірі швидкості Місяця при цьому буде

м/с,

що лежить за межами можливостей сучасних вимірювань. Звідси ясно, що в цьому випадку можна користуватися класичним описанням руху Місяця як руху по строго визначеній траєкторії.

Розглянемо тепер рух мікрочастинки — електрона в атомі водню. Координату електрона, що рухається, можна визначити з точністю до розмірів атома Δx ~10^-10 м і тоді ∆v_x =h/m∆x=7,3∙10⁶ м/с, що в кілька разів перевищує значення швидкості електрона, обчисленої за теорією Бора — v=2,3·10⁶ м/с. Очевидно, що в цьому випадку поняття траєкторії втрачає зміст, тобто при описанні руху електрона в атомі закони класичної механіки незастосовні.

Корпускулярно-хвильовий дуалізм мікрочастинок приводить до того, що при їх описанні виникає невизначеність не тільки в координатах і імпульсах, але й у значеннях їхньої енергії. Дійсно, зміна кінетичної енергії

або

Звідси

Оскільки ∆x∆p_x≥h, то

(30.7)

Співвідношення (30.7) показує, що коли частинка перебуває в нестаціонарному стані (наприклад, атом у збудженому стані) протягом часу ∆t, то значення її енергії може бути задане з обмеженою точністю. З виразу (30.7) випливає, що частота випущеного фотона також повинна мати невизначеність ∆ =∆W/h, тобто лінії спектра охоплюють інтервал частот від –∆ до +∆. Дослід дійсно показує, що випромінювання атомів, що виникає в результаті переходів електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу (§29.6), не є строго монохроматичним.