32. Елементи квантової статистики

32.1. Класична і квантова статистики

Застосування статистичного методу дослідження властивостей систем, що містять велику кількість частинок, було розглянуто в розд. 8, де викладені основні положення класичної статистики, в основі якої лежать уявлення класичної механіки Ньютона.

Основне завдання статистики – знаходження функції розподілу частинок за відповідними параметрами (швидкості, енергії тощо). Приклади таких розподілів – функція розподілу молекул ідеального газу за швидкостями (функція Максвелла), функція розподілу частинок у потенціальному полі (розподіл Больцмана).

Рух мікрочастинок підлягає закономірностям квантової механіки й тому уявлення класичної статистики до систем мікрочастинок застосовні лише обмежено. Для газів і рідин при температурах і тисках, близьких до нормальних, довжина хвилі де Бройля значно менша середньої відстані між частинками, тому до них можна застосовувати положення класичної статистики. Однак для кристалічних твердих тіл (особливо в області низьких температур) класична статистика незастосовна, оскільки в таких системах рух атомів підлягає закономірностям квантової механіки.

Відзначимо основні відмінності квантової статистики від класичної.

1. Квантова механіка (на відміну від класичної) у принципі — статистична теорія. Стан квантової системи визначається ймовірнісними законами розподілу відповідних фізичних величин. Система може перебувати в різних квантових станах, що характеризуються набором хвильових функцій _n(x), подібно тому, як класична система може перебувати в різних мікростанах, обумовлених набором координат і імпульсів. У квантовій статистиці мова йде про ймовірності розподілу системи за різними квантовими станами.

2. У квантовій механіці на відміну від класичної багато фізичних величин набувають дискретного ряду значень, тому при обчисленні середніх значень у квантовій статистиці замість інтегрування необхідно застосовувати підсумовування.

3. Найбільш важлива відмінність квантової статистики від класичної пов'язана із принципом тотожності, властивій тільки квантовій механіці. Цей принцип полягає в тому, що в природі реалізуються лише ті квантові стани, які не змінюються при перестановці однакових частинок, їх «обміні» місцями. Це приводить до корінної відмінності квантової механіки й відповідної квантової статистики від класичної теорії, у якій перестановка будь-яких двох частинок міняє мікростан системи. Таким чином, підрахунок числа різних мікростанів системи за класичною і квантовою статистикою принципово розрізняється. Наприклад, з погляду класичної статистики є шість різних мікростанів, коли чотири молекули a, b, c, d розміщуються по два у кожній з половинок посудини: 1) ab-cd; 2) ac-bd; 3) ad-bc; 4) bc-ad; 5) bd-ac; 6) cd-ab. У силу принципу тотожності частинок у квантовій статистиці ці стани нерозрізнювані, тобто є лише один мікростан.

Принцип тотожності однакових частинок потребує, щоб стан системи описувався хвильовими функціями, які або не змінюються при перестановці будь-якої пари частинок (симетричні хвильові функції), або змінюють при такій перестановці свій знак (антисиметричні хвильові функції). Зазначимо, що зміна знака не змінює стани системи, тому що безпосередній фізичний зміст має лише квадрат модуля хвильової функції ||².

Симетричними хвильовими функціями описуються частинки із цілим спіном (бозони). Частинки з напівцілим спіном (ферміони) описуються антисиметричними хвильовими функціями. Із вимоги антисиметрії хвильової функції випливає принцип Паулі.

Принцип Паулі свідчить про взаємний вплив частинок, що перебувають у близьких станах. Це вплив, називаний обмінною взаємодією, приводить до деякого ефективного відштовхування частинок, тому ферміони поводяться як «індивідуалісти». Це означає, що у квантовій системі, що складається з ферміонів, кожний з них займає стан, що відрізняється від інших.

Протилежний вплив чинять одна на одну частинки із цілим спіном, тобто бозони. За своїми статистичними властивостями такі частинки поводяться як «колективісти», тобто чим більш бозонів перебуває в даному квантовому стані, тим більша ймовірність переходу в цей стан нових частинок. Це еквівалентно деякому ефективному притяганню частинок.

У класичній фізиці обмінна взаємодія відсутня, тому в класичній статистиці частинки поводяться як «нейтрали» (тобто ймовірність переходу частинки в даний стан не залежить від того, зайнято воно іншими частинками чи ні).