11.5. Застосування теореми Остроградського-Гаусса до розрахунку полів

Теорема Остроградського-Гаусса в ряді випадків дозволяє порівняно просто розрахувати напруженість електростатичного поля при заданому розподілі зарядів. Розглянемо кілька прикладів.

11.5.1. Поле нескінченної рівномірно зарядженої площини

Нехай є нескінченна рівномірно заряджена площина з поверхневою густиною заряду

[Кл/м²]

Рис. 11.8

З міркувань симетрії випливає, що вектор повинен бути перпендикулярним до площини. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді циліндра, бічна поверхня якого орієнтована уздовж вектора (рис. 11.8). Сумарний потік вектора, очевидно, становить

.

Потік через бічну поверхню дорівнює нулю, тому оскільки   (рис. 11.8):

.

Потік через основу циліндра:

.

Таким чином, повний потік вектора через замкнуту поверхню

.

За теоремою Остроградського-Гаусса

.

Звідси напруженість поля

.

(11.14)

Напруженість поля, створюваного нескінченною рівномірно зарядженою площиною, не залежить від відстані до неї. Поле, у якому вектор напруженості однаковий за величиною і напрямком, називається однорідним.

11.5.2. Поле двох нескінченних рівномірно заряджених площин

Розрахуємо напруженість поля, створюваного двома нескінченними паралельними площинами, рівномірно зарядженими з поверхневою густиною заряду + і - (рис. 11.9).

Рис. 11.9

Відповідно до принципу суперпозиції сумарна напруженість поля

,

де й – напруженість поля, створюваного відповідно позитивно й негативно зарядженими площинами.

В областях простору I і III (рис. 11.9) вектори й спрямовані в протилежні сторони, тому сумарна напруженість

В області II і паралельні й рівні по модулю, тому

.

Використовуючи попередній результат, дістанемо

.

(11.15)

Аналогічно можна показати, що якщо площини заряджені однойменно, то в зовнішніх областях I і III напруженість поля визначається формулою (11.I5), а у внутрішній області II , що використовується для електростатичного захисту приладів.

11.5.3. Напруженість поля нескінченної рівномірно зарядженої нитки

Розглянемо нескінченну рівномірно заряджену нитку з лінійною густиною заряду

[Кл/м]

Рис. 11.10

Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса, можна показати, що в цьому випадку

.

(11.16)

При виведенні формули (11.16) доцільно вибрати замкнуту поверхню у вигляді циліндра (рис. 11.10) і врахувати, що вектор перпендикулярний до нитки й тому потік вектора через основи циліндра дорівнює нулю.

11.6. Робота з переміщення заряду в електростатичному полі. Теорема про циркуляцію вектора

Знайдемо елементарну роботу з переміщення заряду q у полі, створюваному зарядом Q:

.

де  – кут між силою та напрямком переміщення .

З рис. 11.11 видно, що

.

тому

.

(11.17)

Рис. 11.11

Сумарну роботу з переміщення заряду q із точки А в точку B дістанемо інтегруванням виразу (11.17). Використовуючи закон Кулона, дістанемо

.

Остаточно

.

(11.18)

Якщо заряд переміщується із точки A у точку B по іншому шляху, то, проробивши такі ж викладки, знову прийдемо до формули (11.18). Отже, робота в електростатичному полі не залежить від форми шляху, а залежить лише від вибору початкової й кінцевої точки. Крім того, як видно з (11.18), робота з переміщення заряду в електростатичному полі по замкненому контуру дорівнює нулю, тобто

.

(11.19)

Ці ознаки означають, що електростатичне поле є потенціальним. Відповідно до результату, отриманому в § 3.3, роботу потенціальних (консервативних) сил можна виразити через різницю потенціальних енергій:

.

(11.20)

Із зіставлення (11.18) і (11.20) доходимо до висновку, що потенціальна енергія взаємодії двох точкових зарядів

.

(11.21)

Уведемо тепер енергетичну характеристику електростатичного поля – потенціал. Потенціалом називається скалярна величина, яка чисельно дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в дану точку поля:

.

(11.22)

Одиницею потенціалу електростатичного поля є вольт. Один вольт – це потенціал такої точки поля, у якій заряд в 1 Кл має потенціальну енергію в 1 Дж: 1 В = 1 Дж/Кл.

Потенціал поля точкового заряду знайдемо, підставивши (11.21) в (11.22):

.

(11.23)

І, нарешті, за допомогою (11.22) вираз (11.20) для роботи з переміщення заряду в електростатичному полі з однієї точки в іншу можна представити як добуток заряду на різницю потенціалів:

.

(11.24)

Перетворимо тепер вираз (11.19) так:

.

(11.25)

де враховано, що сила, що діє на заряд в електростатичному полі,

.

(11.26)

а кружок означає, що інтегрування проводиться за замкненим контуром.

З (11.25) витікає

.

(11.27)

Інтеграл, що фігурує в (11.27), називається циркуляцією напруженості електростатичного поля. З (11.27) видно, що циркуляція вектора дорівнює нулю. Цей результат отримано з того факту, що робота в електростатичному полі не залежить від форми шляху. Тому рівність нулю циркуляції вектора є також ознака того, що електростатичне поле є потенціальним.