15.4.2. Закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі

Виділимо, як і раніше, усередині провідника елементарний циліндричний об'єм (рис. 15.3). Замінимо в (15.16)

.

Тоді

,

(15.17)

де V= lS – об'єм провідника.

Уведемо в розгляд питому потужність теплоти

[Дж/(м3с) = Вт/м3].

(15.18)

Питома потужність теплоти чисельно дорівнює кількості теплоти, виділеної в одиниці об'єму провідника за одиницю часу. Іншими словами – це теплова потужність, що розвивається в одиниці об'єму.

З врахуванням (15.18) виразу (15.17) можна надати вигляд

.

Оскільки , то

(15.19)

або

.

(15.20)

Формули (15.19) і (15.20) представляють закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі.

15.5. Обґрунтування законів Ома й Джоуля-Ленца за класичною електронною теорією

У класичній електронній теорії металів приймається наступна модель.

1. Носіями струму в металах є вільні електрони.

2. Вільні електрони утворюють електронний газ, який за своїми властивостями аналогічний ідеальному газу. Є лише одне розходження: електрони при своєму русі зіштовхуються не між собою, а з іонами кристалічної гратки.

3. Під дією електричного поля електрони поряд з хаотичним рухом зі швидкістю починають рухатися спрямовано зі швидкістю . При цьому швидкість напрямленого руху значно менша швидкості хаотичного руху

.

(15.21)

Знайдемо швидкість спрямованого руху електронів. Припустимо, що в момент часу t=0 швидкість спрямованого руху електронів u₀=0. Під дією сили F=eЕ електрон у відповідності із другим законом Ньютона починає рухатися прискорено:

.

Рис. 15.4

Швидкість спрямованого руху електрона

.

(15.22)

З формули (15.22) видно, що швидкість електрона u із часом повинна зростати необмежено. Однак через деякий проміжок часу   електрон потерпає зіткнення з іоном кристалічної гратки й зупиняється. Схематично залежність швидкості спрямованого руху від часу зображена на рис. 15.4.

Середній час між двома послідовними зіткненнями електрона

,

(15.23)

де  – середня довжина вільного пробігу електрона;  – середнє значення його швидкості, що є векторною сумою швидкостей хаотичного й спрямованого рухів.

У силу нерівності (15.21) швидкістю спрямованого руху можна знехтувати, тому

.

(15.24)

Замінивши у формулі (15.22) час t на  , знайдемо максимальну швидкість спрямованого руху електрона

.

(15.25)

Середня швидкість спрямованого руху електрона

.

(15.26)

Підставимо (15.26) у вираз для густини струму (15.3):

.

(15.27)

Із зіставлення (15.27) і (15.15) видно, що питома провідність металу

.

(15.28)

Тим самим удалося не тільки теоретично обґрунтувати закон Ома, але й виразити питому провідність і, отже, питомий опір

.

(15.29)

через характеристики електронного газу.

Виходячи з положень класичної електронної теорії металів, дістанемо тепер закон Джоуля-Ленца.

Наприкінці вільного пробігу електрон має кінетичну енергію спрямованого руху . Цю енергію електрон повністю передає іону кристалічної решітки при зіткненні з ним. Численні такі зіткнення приводить до виділення джоулевої теплоти. Якщо концентрація електронів n, і кожний з них зіштовхується раз за 1 с, то в одиничному об'ємі провідника виділитися потужність

.

Підставляючи сюди значення максимальної швидкості спрямованого руху електрона з (15.25) і з огляду на те, що середнє число зіткнень за 1 с

,

дістанемо закон Джоуля-Ленца

.

(15.30)

Із зіставлення (15.30) і (15.20) знаходимо такий же вираз для питомої електропровідності, як і в законі Ома (див. (15.28)).

Незважаючи на очевидні успіхи класичної електронної теорії металів, вона, проте, зштовхнулася з рядом труднощів. Зокрема класична теорія неправильно передбачує залежність опору металу від температури. Аналіз виразу (15.29) показує, що від температури залежить лише швидкість хаотичного руху. При цьому (див. формулу (8.18)) , отже, питомий опір . Тим часом дослід показує, що  лінійно залежить від температури t:

,

Рис. 15.5

де  ₀ – питомий опір при температурі t=0 ⁰C;   – температурний коефіцієнт опору. Більш того, в області низьких температур (T < T_к) опір багатьох металів стрибком перетворюється в нуль – наступає явище надпровідності (рис. 15.5).

Труднощі класичної теорії були усунуті квантовою теорією електропровідності (§31.3).