13.3.1. Плоский конденсатор

Плоский конденсатор – це дві провідні плоскі пластини площею S, розділені шаром діелектрика товщиною d.

Згідно (11.37) різниця потенціалів між обкладками конденсатора

,

(13.6)

де  – діелектрична проникність середовища, що заповнює простір між обкладками.

Підставивши (13.6) в (13.5) і замінивши Q=S, дістанемо ємність плоского конденсатора

.

(13.7)

13.3.2. Циліндричний конденсатор

Циліндричний конденсатор – це два порожнистих коаксіальних провідні циліндри з радіусами r₁ і r₂ (r₂>r₁), між якими міститься діелектрик з діелектричною проникністю .

Згідно (11.36) різниця потенціалів між обкладками конденсатора

.

(13.8)

Підставивши (13.8) в (13.3) і зробивши заміну Q=l, дістанемо вираз для ємності циліндричного конденсатора:

.

(13.9)

Циліндричними конденсаторами є, наприклад, коаксіальні кабелі, що широко застосовуються у високочастотній техніці.

Розглянемо тепер паралельне й послідовне сполуки конденсаторів.

Рис. 13.4

При паралельній сполученні (рис. 13.4) напруги на конденсаторах однакові: U₁=U₂…=U, а заряди додаються: Q=Q₁+Q₂+…... Тому ємність батареї з декількох паралельно з'єднаних конденсаторів

;

,

тобто загальна ємність дорівнює сумі ємностей. При послідовному сполученні (рис. 13.5) заряди конденсаторів однакові: Q₁=Q₂…=Q_n=Q, а напруги додаються: , тому

Рис. 13.5

;

,

тобто при послідовному сполученні додаються величини, зворотні ємностям. При цьому ємність батареї конденсаторів завжди менша ємності кожного з них, однак, оскільки загальна напруга дорівнює сумі напруг на окремих конденсаторах, таку батарею доцільно використовувати у високовольтних мережах.

На практиці звичайно використовують змішане сполучення, прагнучи досягти потрібних значень напруги і ємності.

14. Енергія електростатичного поля

14.1. Енергія системи точкових зарядів

Рис.14.1

Розглянемо для простоти сукупність із трьох точкових зарядів Q₁, Q₂, Q₃ – рис. 14.1.

Кожний із зарядів взаємодіє з усіма іншими. Число взаємодіючих пар у цьому випадку дорівнює трьом:

N=(1,2) +(1,3) +(2,3),

де, наприклад, (1,2) – пара, що складається з першого та другого зарядів. Очевидно, що загальне число пар не залежить від порядку нумерації зарядів, тому можна записати:

N=(2,1) +(3,1) +(3,2).

Складаючи ці вирази, можна представити число взаємодіючих пар у симетричному вигляді:

N=1/2{[(1,2) +(2,1)] + [(1,3) +(3,1)] + [(2,3) +(3,2)]}.

Таким чином, енергія системи із трьох точкових зарядів може бути представлена у вигляді:

Wp=1/2 [(W12+W21)+(W13+W31)+(W23+W32)],

(14.3)

де W_ik – енергія взаємодії i-го й k-го зарядів.

Перегрупуємо у виразі (14.3) складові так, щоб виділити пари, у яких бере участь кожний із зарядів з усіма іншими:

Wp=1/2 [(W12+W13)+(W21+W23)+(W31+W32)],

де, наприклад, перша дужка відповідає взаємодії першого заряду з усіма іншими, тобто із другим і третім зарядами.

Використовуючи формулу (11.22), можна записати:

,

де – потенціал, створюваний зарядами Q₂ і Q₃ у точці, де міститься заряд Q₁.

Аналогічно:

Таким чином,

.

У загальному випадку

,

(14.4)

де – потенціал, створюваний всіма зарядами, крім i-го, у точці, де міститься i-ий заряд.