11.3. Розрахунок напруженості поля точкового заряду та електричного диполя

11.3.1. Напруженість поля точкового заряду

Рис. 11.1

Помістимо в точку А (рис.11.1), що міститься на відстані r від заряду Q, пробний заряд q і знайдемо силу взаємодії між ними за законом Кулона. Тоді напруженість поля, створюваного зарядом Q на відстані r, на підставі (11.2) і (11.3) може бути знайдена за формулою

.

(11.6)

Якщо заряд розташований у середовищі з діелектричною проникністю , то

.

(11.7)

11.3.2. Напруженість поля електричного диполя

Електричним диполем називається сукупність двох точкових, однакових по величині, але протилежних за знаком зарядів, жорстко закріплених на відстані l один від одного (рис. 11.2). Відстань l називається плечем диполя, а вектор

–

(11.8)

Рис. 11.2

дипольним моментом (електричним моментом диполя). Дипольний момент спрямований уздовж осі диполя убік позитивного заряду (рис. 11.2).

Знайдемо тепер напруженість поля диполя, обмежуючись випадком, коли відстань від центра диполя до розглянутої точки значно більша плеча диполя: r>>l.

А. Напруженість поля в точці, що знаходиться на продовженні осі диполя

Відповідно до принципу суперпозиції напруженість поля в точці А (рис. 11.3)

Рис. 11.3

,

де й – напруженість поля, створюваного відповідно зарядами +Q і -Q. Оскільки вектори й спрямовані в протилежні сторони, то модуль вектора буде

,

де відповідно до (11.6)

.

Таким чином,

.

Вираз у дужках перетворимо так. З рис. 11.3 видно, що

,

де r – відстань між точкою А і центром диполя. Далі маємо

.

Оскільки r>>l, те значенням у знаменнику можна знехтувати, тому

;

.

Оскільки Ql є дипольний момент, то

.

(11.9)

Б. Напруженість поля на перпендикулярі осі диполя

Рис. 11.4

З рис. 11.4 видно, що

.

Далі

,

,

Отже,

,

де p_e=Ql – дипольний момент.

Таким чином,

.

(11.10)

Із зіставлення (11.9) і (11.10) видно, що напруженість поля на осі диполя вдвічі більша, ніж на перпендикулярі до його осі. Відзначимо також, що напруженість поля диполя убуває як 1/r^{‑ 3}, тобто швидше, ніж для точкового заряду, де E1/r^{‑ 2}.

11.4. Силові лінії. Потік вектора напруженості. Теорема Остроградського-Гаусса

Силовою лінією електростатичного поля називається лінія, дотична до якої в кожній збігається з напрямком вектора (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Властивості силових ліній:

а) силові лінії електростатичного поля не перетинаються;

б) силові лінії електростатичного поля розімкнуті – вони починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних (або йдуть у нескінченність).

Введемо поняття потоку вектора напруженості поля . За визначенням елементарний потік вектора напруженості через площадку dS

.

(11.11)

де  – кут між вектором і нормаллю до площадки (рис. 11.6).

Вираз (11.11) можна представити як скалярний добуток

.

(11.12)

Рис. 11.6

де – одиничний вектор, що збігається з нормаллю.

Сумарний потік вектора напруженості через яку-небудь поверхню можна знайти інтегруванням (11.12) за всією поверхнею

,

а для замкнутої поверхні

.

Найважливішу роль в електростатиці грає теорема Остроградського ‑ Гауса, що формулюється в так: потік вектора напруженості через будь-яку замкнуту поверхню пропорційний алгебраїчній сумі зарядів, що містяться усередині цієї поверхні:

.

(11.13)

Доведення. Розглянемо найпростіший випадок, коли замкнута поверхня являє собою сферу, у центрі якої міститься точковий заряд +Q (рис. 11.7). Виділимо на сфері елементарну площадку dS. Нормаль до цієї площадки та вектор збігаються за напрямком, тому .

Рис. 11.7

Перетворимо підінтегральний вираз в (11.13) так:

,

Беручи до уваги, що всюди на поверхні сфери E=const, і з огляду на вираз (11.6), дістанемо:

Теорема доведена для частинного випадку, коли усередині сферичної поверхні є один заряд. Доведення легко узагальнюється на випадок довільного числа зарядів і довільної замкнутої поверхні.

У сумарному потоці, що створюють заряди, які розташовані за межами замкнутої поверхні, можна виділити додатну й від’ємну частини, які взаємно компенсуються. Тому зовнішні стосовно даної замкнутої поверхні заряди в теоремі Остроградського - Гаусса не враховуються.

Теорема Остроградського-Гаусса зв'язує заряди зі створюваними ними електричними полями й відбиває той факт, що джерелом електростатичного поля служать нерухомі електричні заряди.

Ця теорема тісно пов'язана із законом Кулона: якщо справджується закон Кулона, те справедлива й теорема Остроградського-Гаусса, і навпаки. Якби в законі Кулона показник ступеня хоча б незначно відрізнявся від двох, тобто F1/r^2+, де   –  як завгодно мале число, то теорема Остроградського-Гаусса порушувалася б. Справедливість теореми Остроградського-Гаусса перевірена на досліді з набагато більшою точністю, ніж закон Кулона.