3.1.4. Наименьшее общее кратное

Если а|М, b|М, то число MN называют общим кратным целых чисел a,bZ. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b принято обозначать [a,b].

Теорема 1. Если М – общее кратное целых а и b, то [a,b] |М.

Теорема 2. Справедливо соотношение [a,b]=ab/(a,b).

Наименьшее общее кратное нескольких чисел также можно вычислять последова­тельно.

3.1.5. Простые числа

Натуральное число р > 1 называется простым, если оно не имеет других на­туральных делителей, кроме 1 и p. Простым числом будет наименьший, отлич­ный от единицы делитель целого а, а > 1.

Теорема (Евклид). Существует бесконечно много простых чисел.

Отметим еще несколько свойств простых чисел (р – простое).

Свойство 1. (р,а)1=> р|а.

Свойство 2. p|ab=> р|а либо р|b.

Свойство легко обобщается на слу­чай нескольких чисел а, b, с,...

Теорема 2. Всякое целое, больше единицы, разложимо в произведе­ние простых множителей. Это разложение единственно с точностью до порядка следования множителей. В разложении некоторые множители могут повторяться. Если объединить повторения, то получается каноническое разложение числа а на простые множители:

.

3.1.6. Сравнения

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от их деления на натуральное т, называемое модулем. Если два целых а и b имеют одинаковые остатки от деления на т, то они называются сравнимыми по модулю т. Сравнимость чисел а и b записывают в виде

a  b(mod m).

Отметим следующие легко доказываемые либо очевидные свойства.

Свойство 1. a  b(mod m)  m|a–b.

Свойство 2. a  b(mod m), b  c(mod m) => a  c(mod m).

Свойство 3. Сравнения можно почленно складывать.

Пусть а₁  b₁(mod m), а₂  b₂(mod m). Тогда (а₁+а₂)(b₁ +b₂)(mod m).

Свойство 4. Сравнения можно почленно перемножать.

Аналогично предыдущему, (а₁а₂)(b₁b₂)(mod m).

Свойство 5. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число.

Свойство 6. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же число.

Свойство 7. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.

Свойство 8. Обе части сравнения и модуль можно сокращать на их общий делитель.

Свойство 9. а  b(mod m₁), а  b(mod m₂)=> а  b(mod [m₁, m₂]).

Свойство 10. а  b(mod m), d|b, d|m, =>d|a.

Свойство 11. а  b(mod m), => (a,m)=(b,m).

3.1.7. Классы вычетов

Числа, сравнимые по модулю т, образуют класс вычетов по модулю т. Все числа из одного класса имеют один и тот же остаток r от деления на т. Любое число а из класса вычетов называется вычетом по модулю т. Соответствующий класс обозначается через ā. Поскольку отношение ab(modт) является бинар­ным отношением эквивалентности, то имеем разбиение целых чисел на классы эквивалентности (классы вычетов). Всего имеется т классов вычетов по модулю т: .

Свойство 1. a b(mod m) <=>

Свойство 2. a  b(mod m) <=> .

Взяв из каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов. Например, наряду с полной системой вычетов будет

Свойство 3. Любые т чисел, попарно несравнимые по модулю т, образуют полную систему вычетов.

Свойство 4. Если (а, т)=1 и х пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах + b, где b — любое целое, также пробегает полную систему вы­четов по модулю т.

Согласно свойству 11 сравнений, числа одного класса вычетов имеют с модулем т один и тот же общий делитель. Рассмотрим те классы, для которых этот делитель равен единице. Взяв от каждого такого класса по одному вычету, получим приведен­ную систему вычетов. Например, приведенная система по модулю 42 будет 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Свойство 5. Если (а,т) = 1 и х пробегает приведенную систему вычетов по модулю т, то ах также будет пробегать приведенную систему вычетов по мо­дулю т.