3.3.2. Подкольца

Подмножество S кольца R называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно имеющихся операций сложения и умножения и само образует кольцо относительно этих операций.

Подкольцо Н кольца R называется идеалом (двусторонним идеалом) этого кольца, если для всех а  Н, r  R имеет место аr  Н, rа  Н.

Примеры. Множество целых чисел Z является подкольцом поля рациональных чисел Q, но не идеалом. Легко подобрать одно целое и одно рациональное число, произведение которых не будет целым.

Пусть R – коммутативное кольцо, а R. Положим Н={ar r R}. Тогда H – идеал кольца R. В частности, числа, кратные данному модулю т в кольце Z, образуют идеал mZ.

Пусть R – коммутативное кольцо. Идеал Н кольца R называется главным идеалом кольца R, если существует элемент а R такой, что Н={ar r R}. В этом случае Н называют главным идеалом, порожденным элементом а.

Пусть кольцо R содержит единичный элемент. Рассмотрим циклическую подгруппу аддитивной группы кольца, порожденную единицей. Она автоматически будет подкольцом, так как

Она автоматически будет изоморфна либо аддитивной группе кольца Z, либо аддитивной группе одного из колец вычетов Z_m. В первом случае говорят, что характеристика кольца R равна нулю, char R = 0. Во втором случае полага­ет char R = т.

Теорема 3.8.1. Характеристика области целостности либо равна нулю, либо является простым числом.

Центром кольца R называется множество всех его элементов а  R, для которых

ах = ха при всех х  R.

Центр коммутативного кольца R совпадает с R.

Теорема 3.8.2. Центр любого кольца является его подкольцом.

Если Н – идеал кольца R, то факторгруппа R/H также наделяется структурой кольца. Определим умножение смежных классов по формуле

(а + Н)(b+ H)=аb+ Н.

Убедимся в корректности определения. Пусть а + h₁ и b + h₂ – другие пред­ставители смежных классов. Тогда (a +h₁)(b+h₂)= ab + ah₂ + bh₁ + h₁h₂. Три последних слагаемых принадлежат идеалу, поэтому имеем тот же смежный класс. Смежные классы по идеалу называют также классами вычетов по модулю идеала. При таком определении классы вычетов наследуют аксиомы кольца, и поэтому они образуют кольцо, называемое фактор-кольцом кольца R по идеалу Н. Оно обозначается R/Н.

Фактически мы уже имели дело с фактор-кольцом Z/тZ. Эти фактор-кольца можно задавать с помощью таблиц Кэли. В случае р=3 имеем таблицы умножения и сложения поля Галуа F₃:

	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Следует отметить, что фактор-кольцо наследует не все свойства кольца. Например, в кольце Z/6Z есть делители нуля 2 3=0, хотя в самом кольце Z их нет.