3.2.6. Действие группы на множестве

Пусть G – произвольная конечная группа, Х – конечное множество из п элементов. Будем говорить, что G действует на X, если задан любой гомоморфизм GS(X). Тем самым задано отображение декартова произведения G  Х в множество X. Если gS(X), то (g,x)  (х). Вместо (g,x) будем писать gx = (х). При этом выполняются очевидные свойства

е(х) = х, х  X; (gh)x = g(h(x)), g, h  G.

Два элемента х, х' Х называются эквивалентными относительно группы G, действующей на X, если х' =gx. Легко проверяются свойства рефлексивности, транзитивности и симметричности. Соответствующие классы эквивалентности называются орбитами. Орбиту, содержащую элемент х₀, удобно обозначать символом G(х₀), т.е. G(х₀) ={gх₀|gG}. Например, S_n(l)={1, 2,..., п}.

Пусть х₀ – элемент из Х. Рассмотрим множество St(х₀) ={gG|gх₀=х₀}. Легко убедиться, что St(х₀) – подгруппа в G. Она называется стабилизатором элемента х₀. Для рассмотренного примера St(1) – множество всех подстановок, оставляющих элемент 1 на месте. Очевидно, St(1) S_n-1, т. е. это фактически симметрическая группа на множестве 2,3,…,п.

Теорема 1. Card G(x₀)= [G: St(x₀)].

Левые смежные классы находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами орбиты G(x₀).

Из этой теоремы и теоремы Лагранжа следует, что длина любой орбиты ко­нечной группы является делителем порядка группы.

Группа перестановок G  S_n, действующая на множестве Х = {1, 2,..., п}, называется транзитивной, если орбита некоторой (а значит, и любой) точки совпадает со всем множеством X. Транзитивной будет вся группа S_n и, как нетрудно убедиться, знакопеременная группа А_п. Определим действие группы G на левых смежных классах по подгруппе Н по правилу g(g₁H) = (g₁g₂)H. В этом случае также имеем дело с транзитивностью. В самом деле, если g₁H и g₂H — два смежных класса, то g₂g₁^-1g₁H = g₂H.

3.3. Кольца и поля

3.3.1. Определения

Кольцом называется множество R с двумя бинарными операциями, обозна­чаемыми символами «+» и «•», такими, что:

1) R – абелева группа относительно операции «+»;

2) операция умножения ассоциативна, т.е. для всех a,b,c R (ab)c = а(bс);

3) выполняются законы дистрибутивности, т.е. для всех a,b,c R

а(b + с) = ab + ас и (b + с)а = bа + сa.

Условимся называть нейтральный элемент аддитивной группы кольца нулем и обозначать его символом 0. Противоположный к а элемент обозначают через -а. Вместо а + (–b) обычно пишут а–b. Легко доказываются свойства а0 = 0а = 0 для всех а  R. Из этого следует, что (-а)b = а(-b) = -ab для всех a,b  R. Простейшими примерами колец являются кольца целых чисел Z и многочленов R[x] с вещественными коэффициентами.

Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т.е. такой элемент е, что ае = еа = а для любого аR.

Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна.

Два элемента кольца а  0, b0 называются делителями нуля, если ab = 0. Приведем пример делителей нуля. Рассмотрим кольцо классов вычетов Z_m по модулю т. Оно состоит из элементов 0, 1, 2,..., т –1. Операция сложения над этими элементами была определена ранее. Аналогично определяется умножение. Выполняем обычное умножение чисел и при необходимости берем остаток от деления на т. Если т – составное, т=ab, то делителями нуля будут а, b.

Кольцо называется областью целостности, если оно является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения. Очевидно, всякое поле содержит не менее двух элементов. Отметим простейшие свойства полей.

Свойство 3.7.1. В поле нет делителей нуля.

Равенство ab = 0 при а  0 влечет a^-1ab = а^-10, а значит, b=0.

Свойство 3.7.2. В поле второй закон дистрибутивности вытекает из первого.

Теорема 3.7.1. Конечная область целостности является полем.

Теорема 3.7.2. Кольцо классов вычетов Z_m будет областью целостности, а значит, и полем лишь при простом т.

Поле Z_р называется полем Галуа порядка р и обозначается через F_р.