3.1.11. Первообразные корни

Говорят, что число а, взаимно простое с модулем т, принадлежит показателю , если  — такое наименьшее натуральное число, что выполняется сравнение a^ l(mod т). Справедливы следующие свойства.

Свойство 1. Числа a⁰, a¹,…, a^{ -1} попарно несравнимы по модулю т.

Свойство 2. а^  a^ (mod т) <=>   (mod ).

Свойство 3.  |(т). Число, принадлежащее показателю (т), называется первообразным корнем по модулю т.

Свойство 4. По любому простому модулю р существует первообразный корень.

Гауссом доказано сущест­вование первообразных корней по модулям р^k и 2р^k при любом нечетном про­стом р. Легко убедиться, что при т = 4 первообразный корень также существу­ет. Таким образом, первообразные корни существуют по модулям 2, 4, р^k, 2 р^k, где р — нечетное простое, kN.

Первообразные корни по всем остальным модулям отсутствуют.

Нахождение первообразных корней упрощает следующее свойство.

Свойство 5. Пусть с = (т) и q₁,q₂, ...,q_k — различные простые делите­ли числа с. Число a, взаимно простое с модулем т, будет первообразным корнем тогда и только тогда, когда не выполнено ни одно из следующих сравнений:

a^c/q1 1(mod m), a^c/q2 l(mod m),..., a^c/qk l(mod m). (3.1.11.1)

Пример. Пусть т = 41. Имеем с =(41) = 40= 2³•5. Итак, первообразный корень не должен удовлетворять двум сравнениям

а⁸ 1(mod 41), a²⁰ l(mod 41).

Испытываем числа 2, 3, 4, ...: 2⁸ 10, 2²⁰  1, 3⁸  1, 4⁸  18, 4²⁰  1, 5⁸  18, 5²⁰  1, 6⁸ = 10, 6²⁰ = 40. Отсюда видим, что 6 является наименьшим первообраз­ным корнем по модулю 41.

3.1.12. Индексы по модулям рk и 2рk

Обозначим через т модуль вида р^k или 2р^k, а через g – первообразный корень по этому модулю. Положим с=(т).

Свойство 1. Если число  принимает последовательно значения 0, 1, ..., с -1, то g^ пробегает приведенную систему вычетов по модулю т.

Для чисел а, взаимно простых с т, введем понятие индекса, называемого иногда дискретным логарифмом.

Пусть а  g^(mod т). Число  ( 0) называется индексом числа а по модулю т при основании g. Используются обозначения  = ind_ga или  = ind а. В силу тео­ремы Эйлера индекс определен по модулю с. Тем самым было бы правильнее говорить о классе вычетов по модулю с.

Свойство 2. ind ab ind а + ind b (mod с).

Свойство 3. ind aⁿ  n ind а(modc).

Если воспользоваться таблицами индексов, то можно решать показательные и степенные сравнения путем их индексирования (дискретного логариф­мирования). В самом деле, степенное сравнение xⁿ  a(mod т) равносильно сравнению n ind x  ind a(modc), решение которого при наличии таблиц не со­ставляет труда. Положим d = (п, с).

Свойство 4. Сравнение хⁿ a(mod т) разрешимо тогда и только то­гда, когда d делит ind а. В случае разрешимости имеется d решений.

3.1.13. Символ Лежандра

В п. 3.1.9 мы изучали сравнение ax  b(modm). Рассмотрим сравнение ax²+bх+ с  0 (mod m). Путем выделения квадрата приведем его к виду (2ах + b)² = b² – 4ас (mod 4am). Полагая у = 2ax + b, d = b² – 4ас, имеем сравне­ние у²d(mod4am). Фактически исходное сравнение сведено к сравнению вида х²а(mod m). Рассмотрим случай, когда т – простое.

Пусть р – нечетное простое число, (а,р)=1. Символ Лежандра определяется равенством =1, если сравнение х²  a(mod р) разрешимо, и = –1 в противном случае. Говорят также, что в первом случае а является квадратичным вычетом по модулю р и квадратичным невычетом во втором.

Таким образом, = 1.

Пример. Квадратичные вычеты по mod 7 – это 1, 2, 4: невычеты – 3, 5, 6. Если g – первообразный корень по mod p, то каждое целое g^2k – квадратичный вычет, а каждое g^2k+1 – квадратичный невычет.

Свойство 1. = , где (а,р)=(b,р) =1.

Теорема 1 (критерии Эйлера). Если (а,р)=1, то

Свойство 2.